给定函数 $m(x), n(x)(x \in \mathbf{R})$ ，定义：$m(x) * n(x)=m(x) n(x)+[m(x)][n(x)]$（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．已知函数 $f(x)=[x] * \mathrm{e}^x$ ．
（1）判断函数 $f(x)$ 在 $(-2,2 \ln 2)$ 上的单调性；
（2）证明：当 $x \in(0,2)$ 时，函数 $f(x)$ 的图象在直线 $y=x-1$ 的上方；
（3）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=x^2+a x+2$ 在 $(1, \ln 3)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围．