已知抛物线 $C_1: y=p x^2(p \neq 0)$ 与 $C_2: y=x^2+2 x+q$ 相交于 $A_1, B_1$ 两点，其交点的横坐标分别为 $a_1=3, b_1=-1$ ．在抛物线 $C_1$ 上另取 $(n-1)$ 个点 $A_2, A_3, \cdots, A_n$ ，在抛物线 $C_2$ 上另取 $(n-1)$ 个点 $B_2, B_3, \cdots, B_n$ ，使 $A_i A_{i+1} / / B_i B_{i+1}(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．记 $A_i, B_i(i=2,3, \cdots, n)$ 的横坐标分别为 $a_i$ ， $b_i(i=2,3, \cdots, n)$ ．
（1）求 $p, q$ 及 $2 a_2-b_2$ 的值．
（2）证明： $2 a_n-b_n=\left\{\begin{array}{l}7, n=2 k-1, k \in \mathbf{N}^*, \\ -5, n=2 k, k \in \mathbf{N}^* .\end{array}\right.$
（3）是否存在点 $A_n, B_n$ ，使四边形 $A_1 B_1 A_n B_n$ 为平行四边形？若存在，求出 $A_n, B_n$ 的坐标及 $n$ 的取值集合；若不存在，请说明理由．