甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进人面试．笔试共有 2 道专业理论题与 2 道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为 $p(0 < p < 1)$ ，每道岗位实践题的难度系数均为 $q(0 < q < 1)$ ，考生至少答对 3 道题才能进人面试，否则被淘汰出局；面试共有 5 道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为 $\frac{1}{16}$ ，笔试和面试各题是否答对相互独立．
（1）当 $p=\frac{2}{3}$ 时，求 $q$ ；
（2）求甲能够进人面试的概率 $f(p)$ 的最小值及相应的 $p$ 值；
（3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的 $p$ 值，令甲面试结束时的答题数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．