一、单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(x-1) \operatorname{arccot}|x|^n$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内只有一个间断点 $x=-1$ ．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内只有一个间断点 $x=1$ ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有两个间断点 $x= \pm 1$ ．
2. 设 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上连续，且 $f(x)+f(2-x) \neq 0$ ，则 $I=\int_0^2 \frac{f(x)}{f(x)+f(2-x)}\left(2 x-x^2\right) d x=$
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$ ．
3. 设有二元方程 $x^2+y^2-y+\ln (1+x y)=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(1,0)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 既能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，也能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{B.}$ 既不能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，也不能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{C.}$ 不能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，但可以确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{D.}$ 可以确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，但不能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$.
4. 设曲面 $\Sigma$ 是由抛物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(0,1,1)$ 处的切平面被柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截下的部分，则曲面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^3 y z^2+z\right) d S=$
$\text{A.}$ $-\sqrt{5} \pi$ ．
$\text{B.}$ $-\sqrt{3} \pi$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{3} \pi$ ．
$\text{D.}$ $\sqrt{5} \pi$ ．
5. 设 $A$ 为 $2 \times 3$ 非零矩阵， $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & k \\ -2 & 4 & -6 \\ 3 & -6 & 9\end{array}\right)$ ，且满足 $A B = O$ ，则
$\text{A.}$ 当 $k=3$ 时，必有 $r( A )=1$ ．
$\text{B.}$ 当 $k=3$ 时，必有 $r(A)=2$ ．
$\text{C.}$ 当 $k \neq 3$ 时，必有 $r( A )=1$ ．
$\text{D.}$ 当 $k \neq 3$ 时，必有 $r( A )=2$ ．
6. 设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \beta$ 是四维非零列向量， $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right), A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，又知方程组 $A x = \beta$ 的通解为 $(1,-1,0,3)^{ T }+c(2,0,-4,0)^{ T }$ ，则 $A \cdot x = 0$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2$ ．
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ ．
$\text{C.}$ $\alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _2$ ．
$\text{D.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$ ．
7. 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\sum_{i=1}^4 x_i^2+\sum_{1 \leq i < j \leq 4} 2 a x_i x$ ，的正惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a < 1$
$\text{B.}$ $a \leqslant-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3} < a < 1$
$\text{D.}$ $ a \geqslant 1$
8. 设 $A, B$ 是两个随机事件，且 $P(A)=0.6, P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid \bar{A})=1, P(A \cup B)=0.8$ ，则 $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ 与 $P(\bar{B} \mid A)$ 分别是
$\text{A.}$ $0.5,0.5$ ．
$\text{B.}$ $0.5,0.7$ ．
$\text{C.}$ $0.7,0.5$ ．
$\text{D.}$ $0.7,0.4$ ．
9. 一批产品共 10 个，其中一等品 6 个，二等品 2 个，次品 2 个。现在从中一次任取 2 个，设随机变量 $X, Y$ 分别表示取出的一等品与二等品的个数，令随机变量 $Z=\min \{X, Y\} \cdot \max \{X, Y\}$ ，则 $Z$ 的分布函数为
$\text{A.}$ $F_Z(z)=\left\{\begin{array}{cc}0, & z < 0 \\ \frac{11}{15}, & 0 \leqslant z < 1 . \\ 1, & z \geqslant 1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F_Z(z)=\left\{\begin{array}{lc}0, & z < 0 \\ \frac{4}{15}, & 0 \leqslant z < 1 . \\ 1, & z \geqslant 1\end{array}\right.$ ．
$\text{C.}$ $F_Z(z)=\left\{\begin{array}{cc}0, & z \leqslant 0 \\ \frac{11}{15}, & 0 < z < 1 . \\ 1, & z \geqslant 1\end{array}\right.$ ．
$\text{D.}$ $F_Z(z)=\left\{\begin{array}{cc}0, & z < 0 \\ \frac{11}{15}, & 0 \leqslant z < 1 \text { ．} \\ \frac{4}{15}, & z \geqslant 1\end{array}\right.$
10. 设总体 $X$ 的密度函数 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}\theta, & 0 < x < 1 \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x < 2, \text { 其中 } \theta(0 < \theta < 1) \text { 是未知参数，} 1, \frac{1}{2}, ~ \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$ 是取自总体 $X$ 的样本，则 $\theta$ 的矩估计值与最大似然估计值分别是
$\text{A.}$ $\frac{3}{8}, \frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{5}{8}, \frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}, \frac{5}{8}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}, \frac{1}{2}$ ．
二、填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
11. 向量场 $u (x, y, z)=x y^2 i +y z^2 j +z x^2 k$ 在点 $M(1,1,1)$ 处的旋度 rot $u =$ $\qquad$
12. 设 $z=f\left[\sin \left(x^2+y^2\right), \ln \left(1+x^2+y^2\right)\right]$ ，其中 $f$ 具有连续的一阶偏导数，则 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0.0)}=$ $\qquad$ ．
13. 曲线 $y=x \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 共有 $\qquad$条渐近线。
14. 通解为 $y=C_1 e ^{-x}+C_2 x$（ $C_1, C_2$ 是任意常数）的常微分方程是 $\qquad$ ．
15. 设 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right), A_{i j}$ 为 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 A_{i j}=$
16. 设 $X_1, X_2, \cdots, X_{36}$ 是取自正态总体 $N(\mu, 0.09)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 是末知参数， $\bar{X}=$ $\frac{1}{36} \sum_{i=1}^{36} X_i$ 为样本均值，对于假设检验问题：$H_0: \mu \leqslant 0.5, H_1: \mu>0.5$ ，在显著性水平 $\alpha=0.01$时，拒绝域 $W=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_{36}\right) \mid \bar{x}>C\right\}$ ，已知 $\Phi(2.32)=0.99$ ，则 $C=$ $\qquad$ ．
三、解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. （ I ）求微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y= e ^{3 x}$ 的一个特解 $y=y(x)$ ，使其满足 $y(0)=0$ ，且相应曲线 $y=y(x)$ 在 $(0,0)$ 点处有水平切线；
（II）对于（ I ）中的 $y(x)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(4+2 \tan x)^x-4^x}{y(x)}$ ．
18. $D_1$ 为曲线 $y=2 x-x^2$ 与直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 所围成的图形，面积记为 $S_1 ; D_2$ 为曲线 $y=2 x-x^2$ ，直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，面积记为 $S_2$ ，且 $S_1: S_2=1: 7$ 。
（I）求常数 $k$ 的值，及曲线 $y=2 x-x^2$ 与直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 的交点；
（II）求平面图形 $D_1$ 的周长以及 $D_1$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
19. 试讨论方程 $x^2-3-k e ^{-x}=0$ 根的个数，其中 $k$ 为参数．
20. 过点 $A(1,0,0)$ 与 $B(1,1,1)$ 的直线绕 $z$ 轴旋转一周得一旋转曲面，该曲面被 $z=0$ 和 $z=1$ 所截下的部分的外侧记为 $\Sigma$ ．
（I）求旋转曲面 $\Sigma$ 的方程；
（II）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内一阶导函数连续，计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}(x f(x y)-2 x) d y d z+\left(y^2-y f(x y)\right) d z d x+(z+1)^2 d x d y .
$$
21. 设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是线性空间 $R ^3$ 的一组基，
$$
\beta _1=- \alpha _1+2 \alpha _2+2 \alpha _3, \beta _2=2 \alpha _1- \alpha _2-2 \alpha _3, \beta _3=2 \alpha _1-2 \alpha _2- \alpha _3
$$
（I）证明： $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 也是 $R ^3$ 的一组基；
（II）若由向量 $\eta =2 \beta _1+ \beta _2+3 \beta _3$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 下的坐标 $x_1, x_2, x_3$ 组成的向量 $\xi =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }$
是 3 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -2 & a & 0 \\ 0 & b & 2\end{array}\right)$ 的一个特征向量，求常数 $a, b$ 及 $\xi$ 对应的特征值 $\lambda$ ；
（III）判断 $A$ 能否与对角形矩阵相似？如果能，求可逆矩阵 $P$ 和对角形矩阵 $\Lambda$ ，使得 $P^{-1} A P = \Lambda$ ．
22. 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从 $(0,2)$ 上的均匀分布．
（I）求 $Z=X-Y$ 的概率密度函数；
（II）求 $E|Z|$ ；
（III）以 $X, Y$ 为边长作一个长方形，$Z_1, Z_2$ 分别表示长方形的面积和周长，求其相关系数 $\rho_{Z_1, Z_2}$ ．