单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)=\sqrt{x^2+y^2}(|x|+|y|)$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{C.}$ 可微。
$\text{D.}$ 不可微．
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^h\right)$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在
设反常积分
$$
I_1=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}, I_2=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+\sqrt{x})(1+x)}, I_3=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)} .
$$
则有
$\text{A.}$ $I_1, I_2$ 收敛，$I_3$ 发散。
$\text{B.}$ $I_1, I_3$ 收敛，$I_2$ 发散．
$\text{C.}$ $I_2, I_3$ 收敛，$I_1$ 发散．
$\text{D.}$ $I_1, I_2, I_3$ 均收敛。
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上单调增加的连续函数，则
$\text{A.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
记 $I_1=\lim _{n \rightarrow} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n-i} \frac{i}{\left(n^2+1\right) \quad(n+i+j)}$ ， $I_2=\lim _{n \rightarrow} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n-i} \frac{j}{\left(n^2+1\right)(n+i+j)}, I_3=\lim _{n \rightarrow} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n-i}^n \frac{i}{\left(n^2+1\right) \quad(n+i+j)}$ ，则下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ $I_1>I_2$ ．
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$ ．
$\text{C.}$ $I_1>I_3$ ．
$\text{D.}$ $I_1>I_3$
已知区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}, y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=2$ 围成，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则对于二重积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ ，下列表达式错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $\int_0^2 d x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{2 x}} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x+\int_0^1 d y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^2 f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^2 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2 \cos \theta}{\sin ^2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{\frac{2}{\sin \theta}}^{\frac{2 \cos \theta}{2} \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r-\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ．若存在矩阵 $B$ 满足 $A B=C$ ，则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$
$\text{B.}$ $a=2, b=2$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=2, \quad b=-1$
设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，已知 $\mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}, \mathbf{A}^2 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}$ ，若 $\mathbf{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A}^2 \boldsymbol{\alpha}\right)$ ，则方程组 $\mathbf{B x}=\mathbf{A} \boldsymbol{\beta}$ 的通解为（ ）
$\text{A.}$ $k(-2,1,-1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
$\text{B.}$ $k(2,-1,1)^{\mathrm{T}}+(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
$\text{C.}$ $k(-2,1,1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
$\text{D.}$ $k(2,-1,-1)^{\mathrm{T}}+(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{4+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{2-\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin |x|}{x}$ 的渐近线
已知 $\int_1^{+\infty}\left[\frac{2 x^2+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ ，$b=$
已知函数 $f(x, y)$ 可微，且 $d f(0,0)=\pi d x+3 d y$ ，记 $g(x)=f(\ln x, \sin \pi x)$ ，则 $g^{\prime}(1)=$
设定义在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的函数 $y(x)$ 满足微分方程 $2 y^{\prime}=1-\mathrm{e}^{x-2 y} \tan ^3 x$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $y(x)=$
设 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq t^2$ 上连续且 $f(0,0)=4$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{t-\ln (1+t)}=$
设 $\xi_1=(1,3,-2)^{\mathrm{T}}, \xi_2=(2,-1,3)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} x=0$ 的一个基础解系， $\boldsymbol{\eta}=(2, a, b)^{\mathrm{T}}$ 是方程 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} \\ x_1+2 x_2+x_3=-2\end{array}\right.$ 的解，则 $\boldsymbol{\eta}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设
$$
f(x)= \begin{cases}\sin x+2 a \mathrm{e}^x, & x < 0, \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, & x \geqslant 0 .\end{cases}
$$
确定 $a, b$ 的值，使 $f^{\prime}(0)$ 存在．
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且对任意的 $x, y$ ，均有
$$
f^2(x)-f^2(y)=f(x+y) f(x-y) .
$$
$(I)$ 求 $f(0)$ ；
（II）证明：$f^{\prime \prime}(x) f(y)=f(x) f^{\prime \prime}(y)$ ；
（III）若 $f^{\prime \prime}(1)=f(1)=1$ ，求 $f(x)$ ．
已知 $y_1(x)=e^x, y_2(x)=u(x) e^x$ 是二阶微分方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的解，若 $u(-1)=e, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解.
$D_1$ 为曲线 $y=2 x-x^2$ 与直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 所围成的图形，面积记为 $S_1 ; D_2$ 为曲线 $y=2 x-x^2$ ，直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，面积记为 $S_2$ ，且 $S_1: S_2=1: 7$ 。
（I）求常数 $k$ 的值，及曲线 $y=2 x-x^2$ 与直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 的交点；
（II）求平面图形 $D_1$ 的周长以及 $D_1$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．
已知三阶矩阵 $B \neq 0$, 且 $B$ 的每一个列向量都是方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \text { 的解 } \\ 3 x_1+x_2-x_3=0\end{array}\right.$
（1）求 $\lambda$ 的值；
（2）证明 $|B|=0$ ．