单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足 $f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x$ ，则 $f(x)=()$
$\text{A.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{2}$ ．
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量．则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
设函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，$f^{\prime \prime}(0) \neq 0, f^{\prime}(0)=0$ ， $f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的 $\quad$ 。
$\text{A.}$ 第一类间断点．
$\text{B.}$ 连续点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点或间断点，不能由此确定．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^4}=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{f(x)}=$
$\text{A.}$ $\infty$ ．
$\text{B.}$ 0.
$\text{C.}$ 6.
$\text{D.}$ -6 ．
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime} -6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\sin 2 x$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
$\text{C.}$ $\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
$\text{D.}$ $\left(x^2 \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
如果函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=-\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ，若
$$
g(x, y)=f\left(x^2+y, x+y^2\right)-f(x, y),
$$
则 $\left.\mathrm{d} g\right|_{(0,0)}=$
函数 $y=y(x)$ 由微分方程 $x^2 y^{\prime}+y+x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=0$ 及 $y(1)=0$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 斜渐近线方程为
已知反常积分 $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=1$ ，则 $a=$
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}$ 是四阶单位矩阵，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^3+\boldsymbol{A}^4+\boldsymbol{A}^5\right)^{-1}=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的四阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的 3 个解，其中 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2= (2,1,-8,10)^{\mathrm{T}}, 2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=(2,0,-24,29)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,-3,4)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解是
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)+\ln \left(1-x+x^2\right)}{\sec x-\cos x}=
$$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D$ 是由封闭曲线 $x^2+y^2=a\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 所围成的有界闭区域，其中常数 $a>0$ ．求二重积分 $I=\iint_D\left[x^2 \ln \left(y+\sqrt{1+y^2}\right)+x \sqrt{x^2+y^2}\right] d x d y$ ．
已知齐次线性方程组（I）有基础解系 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ．方程组
（II）是在方程组（I）的基础上添加了两个方程 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+2 x_2+2 x_4=0\end{array}\right.$ ，求方程组（II）的通解．
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且对于任意实数 $x, y$ ，有
$$
f(x+y)=f(x) \varphi(y)+f(y) \varphi(x),
$$
其中 $\varphi(x)=\cos x+x^2 \mathrm{e}^x$ ，又知 $f^{\prime}(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t}{x^{p} \sin 2 x}=c(c \neq 0)$ ，求常数，$p, c$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，满足 $f(0)=0, f(1)=1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2, x \in[0,1]$ ，证明：
（I）当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)-x| \leqslant \frac{1}{4}$ ；
（II）若 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)$ ，则当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant 2 x-x^2$ ．