单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
下列说法中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 因为 $f(x)=\sin ^2 x-1$ 在 $[0,1]$ 不总是 $f(x) \geqslant 0$ ，故 $\int_0^1\left(\sin x^2-1\right) \mathrm{d} x \geqslant 0$ 不正确
$\text{B.}$ 设 $\alpha>0, \beta>0$ ，下列各数列趋于 $+\infty$ 的速度由慢到快的排列顺序是 $\ln ^\beta n, n^a, \alpha^n(\alpha>1)$ 因此我们可得 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^a}{\ln ^\beta n}=\infty, \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^a}{\alpha^n}=0$
$\text{C.}$ 设 $x_n \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\alpha$ 存在，$y_n$ 有界但不收敛，则 $x_n y_n$ 收敛的充要条件是 $\alpha=0$
$\text{D.}$ 设 $f(x)$ 在 $x=\alpha$ 连续，$\varphi(x)$ 在 $x=f(\alpha)$ 间断，则 $\varphi(f(x))$ 在 $x=a$ 间断
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime} -6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\sin 2 x$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
$\text{C.}$ $\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
$\text{D.}$ $\left(x^2 \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
设连续可偏导的函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-2 x-y+1}{(x-1)^2+y^2}=-1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left( e ^{2 x^2}, x \tan 2 x\right)\right]^{\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+\ln (1+x)}}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^6$
$\text{B.}$ $e^{12}$
$\text{C.}$ $e^{18}$
$\text{D.}$ $e ^{24}$