单选题 （共 26 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-\bar{x}\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{F}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x, k$ 为整数，则 $I$ 的值（）
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
设 $f(x)=\int_0^{|\sin x|} e ^{t^2} d t, g(x)=\int_0^{|x|} \sin t^2 d t$, 则在 $(-\pi, \pi)$ 内,
$\text{A.}$ $f(x)$ 是可导的奇函数.
$\text{B.}$ $g(x)$ 是可导的偶函数。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在。
$\text{D.}$ $g(x)$ 是偶函数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $f(x)>0, F(x)=\int_a^x f(t) d t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} d t$, 则方程 $F(x)=0$ 在 $[a, b]$上不同实根的个数为（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若 $I=\int_0^{+\infty} e^{-p x} \cos q x d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $p \leq 0, I=q^2$
$\text{B.}$ $p \leq 0, I=p^2+q^2$
$\text{C.}$ $p>0, I=\frac{1}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ $p>0, I=\frac{p}{p^2+q^2}$
设 $f(x)=\int_{-1}^x t \cos t d t, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \int_0^1 x \sin x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_0^1 x^2 \sin x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_0^1 x \cos x d x$.
$\text{D.}$ $2 \int_0^1 x^2 \cos x d x$.
设 $f(x)=\int_0^x\left( e ^{\cos t} \cos t-k\right) d t$, 若积分 $\int_a^{a+2 \pi} f(x) d x$ 的值与 $a$ 无关, 则 $k=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi e^{\cos x} \cos x d x$
$\text{D.}$ 0
一个容器的内侧是由曲线 $x^2+y^2=a^2\left(y \leq \frac{a}{2}, a>0\right)$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为 $m$ ，重力加速度为 $g\left(m / s^2\right)$ ，水的密度为 $\rho\left( kg / m ^3\right)$ ，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）
$\text{A.}$ $\frac{45}{64} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{B.}$ $\frac{45}{32} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{C.}$ $\frac{45}{16} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{D.}$ $\frac{45}{8} \rho g \pi a^4(J)$
已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e^{r^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, $(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
设 $I=\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) d x, J=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} d x, K=\int_0^1 \arctan x d x$, 则 ( )
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $K < J < I$
$\text{C.}$ $I < K < J$
$\text{D.}$ $J < K < I$
已知 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (\cos x)}{2} d x, I_2=\int_{-1}^1 \frac{(1+\sin x)^2}{2\left(1+\sin ^2 x\right)} d x, I_3=\int_{-1}^1 f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 3$ ，则三者的大小关系为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
若反常积分 $\int_0^{e^2} \frac{d x}{\sqrt{x}|\ln \sqrt{x}|^p}$ 收敛，则参数 $p$ 的取值范围为（ ）．
$\text{A.}$ $p \leqslant 1$
$\text{B.}$ $p \geqslant 2$
$\text{C.}$ $p < 1$
$\text{D.}$ $p < \frac{1}{2}$
已知 $f(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f^{\prime}(x)=\arcsin \sqrt{2 x-x^2}, f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[-1,5]$ 上的平均值为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$
设 $I(s)=\int_0^1|\ln | s-t| | d t, s \in[0,1]$ ，则 $I(s)$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\ln 2$
$\text{B.}$ $1+\ln 2$
$\text{C.}$ $2+\ln 2$
$\text{D.}$ $3+\ln 2$
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足 $f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x$ ，则 $f(x)=()$
$\text{A.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{2}$ ．
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上单调增加的连续函数，则
$\text{A.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $p(t)$ ，某机构持有该证券的份额为 $q(t)$ ，若该机构在 $[0, T]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) d t$
$\text{B.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) d t$
$\text{C.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
$\text{D.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
关于积分 $\int_1^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n} \mathrm{~d} x(m>0, n>0)$ 的敛散性判断，正确的是（ ）
$\text{A.}$ 当 $n-m>1$ 时收敛；当 $n-m \leqslant 1$ 时发散．
$\text{B.}$ 当 $n-m \geqslant 1$ 时收敛；当 $n-m < 1$ 时发散．
$\text{C.}$ 当 $n-m \leqslant 1$ 时收敛；当 $n-m>1$ 时发散．
$\text{D.}$ 当 $n-m < 1$ 时收敛；当 $n-m \geqslant 1$ 时发散．
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_2$ 最小．
$\text{B.}$ $I_3$ 最小。
$\text{C.}$ $I_1 < 1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})$ ．
$\text{D.}$ $I_3 < 1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})$ ．
设连续函数 $f(x)$ 满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^{2 x} f(t) \mathrm{d} t=4 x \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=$
$\text{A.}$ $(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $-(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $-(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，无穷小量 $\alpha_1=\int_x^{2 \sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, \alpha_2=\int_x^{\mathrm{e}^x-1} \ln \cos t \mathrm{~d} t, \alpha_3=\int_{x^2}^x \frac{\tan ^3 t}{t} \mathrm{~d} t$ 关于 $x$ 的阶数分别为
$\text{A.}$ $2,3,4$
$\text{B.}$ $3,3,3$
$\text{C.}$ $3,5,3$
$\text{D.}$ $3,4,3$
在 $O x y$ 平面上，光滑曲线 $L$ 过 $(1,0)$ 点，并且曲线 $L$ 上任意一点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x(a>0$ 为常数）．如果 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成的平面图形的面积为 8 ，则 $a$ 的值为
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 4.
$\text{C.}$ 6 ．
$\text{D.}$ 8 ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，无穷小量 $\alpha_1=\int_x^{2 \sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, \alpha_2=\int_x^{\mathrm{e}^x-1} \ln \cos t \mathrm{~d} t, \alpha_3=\int_{x^2}^x \frac{\tan ^3 t}{t} \mathrm{~d} t$ 关于 $x$ 的阶数分别为
$\text{A.}$ $2,3,4$ ．
$\text{B.}$ $3,3,3$ ．
$\text{C.}$ $3,5,3$ ．
$\text{D.}$ $3,4,3$ ．
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{9 \pi}{4}} x|\sin x+\cos x|^3 d x=$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
已知可导函数 $y=f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上单调递减，其中 $f(1)=\sqrt{3}, f(\sqrt{3})=1$ ，记 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} r^2(\theta) d \theta-2 \int_1^{\sqrt{3}} f(x) d x=$
已知连续正值函数 $f(x)=-\frac{24}{\pi} x \sqrt{x(1-x)}+\int_x^1 f(y) f(y-x) d y$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x==$
若函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x+l)=f(x), l>0$ ，则 $\int_{-l}^l f(x) \cos \frac{(2 n+1) \pi x}{l} d x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \int_0^{\frac{1}{n}} e ^{t^2} d t\right)^{n^2+n-\sin n}=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt{\frac{3+t^2}{1-t^4}} d t$ ，则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{\sin x}) \sin x d x=$
$\int 2^x \arctan \sqrt{2^x-1} d x=$
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
已知 $f(x)$ 是非负的连续函数，且 $f(x) \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
已知反常积分 $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=1$ ，则 $a=$