单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 满足 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$, 又 $0 < a < b$, 则当 $a < x < b$ 时，恒有（）
$\text{A.}$ $a f(x)>x f(a)$
$\text{B.}$ $x f(x)>a f(a)$
$\text{C.}$ $x f(x)>b f(b)$
$\text{D.}$ $b f(x)>x f(b)$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极小值，点 $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $F$ 连续可偏导，且 $z=z(x, y)$ 由 $F\left(x^2-z^2, y^2-z^2, x^2+y^2\right)=0$ 确定，则 $y \frac{\partial z}{\partial x}- x \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_2^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{C.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{x y\left(F_2^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可导函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$ ．若方程 $f(x)- x+1=0, f(x)+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内均有解，则对于满足条件的函数 $f(x)$ ，均有 $($
$\text{A.}$ $|f(0)|+|f(1)| \leqslant M$ ．
$\text{B.}$ $|f(0)|+|f(1)| \geqslant M$ ．
$\text{C.}$ $|f(0)|+|f(1)|=M$ ．
$\text{D.}$ $|f(0)|+|f(1)| \neq M$ ．
设 $0 < a < b$ ，下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\ln \frac{b}{a}>\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{B.}$ $\ln \frac{b}{a} < \frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{C.}$ $\ln \frac{b}{a}=\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{D.}$ $\ln \frac{b}{a}$ 与 $\frac{2(b-a)}{a+b}$ 的大小关系无法确定．
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数为 $g$ ，则
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^4}=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{f(x)}=$
$\text{A.}$ $\infty$ ．
$\text{B.}$ 0.
$\text{C.}$ 6.
$\text{D.}$ -6 ．
方程 $\mathrm{e}^x=\mathrm{e} x^2-x+1$ 根的个数为
$\text{A.}$ 1．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4 ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x(t)=\ln \tan \frac{t}{2}+\cos t, \\ y(t)=\sin t,\end{array}\right.$ 其中 $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, 则曲线上一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴的交点 $P$ 与点 $M$ 之间的距离为
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
设 $D$ 由 $L:\left\{\begin{array}{l}x=2(t-\sin t), \\ y=2(1-\cos t)\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，则 $\iint_D x y d x d y=$
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是
计算不定积分 $\int \frac{\tan x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ （其中 $a b \neq 0$ ）。
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且
$$
f^{\prime}(a)(b-a) < f(b)-f(a) < 2\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right] .
$$
（1）记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，证明：存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $F\left(x_0\right)=$ 0；
（2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < 1,2 x_{n+1} \cos x_n=x_n-x_n^2, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$