设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且
$$
f^{\prime}(a)(b-a) < f(b)-f(a) < 2\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right] .
$$

（1）记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，证明：存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $F\left(x_0\right)=$ 0；
（2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}$ ．