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已知可导函数 $y=f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上单调递减，其中 $f(1)=\sqrt{3}, f(\sqrt{3})=1$ ，记 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} r^2(\theta) d \theta-2 \int_1^{\sqrt{3}} f(x) d x=$
                        
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