填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2[\arctan (x+1)-\arctan x]=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\pi} \arccos x\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\qquad$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{1+\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{1+\ln \left(1+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-e^{2-2 \cos x}}{x^4}$.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) e^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $a, b$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4 x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$