单选题 （共 30 题 ），每题只有一个选项正确
要使 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 都是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 只要系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 ( )
$\text{A.}$ $(-2,1,1)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$.
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵记为 $A$ ，若存在三阶矩阵 $B \neq 0$ ，使得 $A B=0$ ，则
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ 且 $|B|=0$
$\text{B.}$ $\lambda=-2$ 且 $|B| \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda=1$ 且 $|B|=0$
$\text{D.}$ $\lambda=1$ 且 $|B| \neq 0$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是四元非齐次线形方程组 $A X=b$ 的三个解向量，且秩 $(A)=3$ ，
$$
\alpha_1=(1,2,3,4)^T, \alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T \text {, }
$$
$c$ 表示任意常数，则线形方程组 $\boldsymbol{A} X=b$ 的通解 $\boldsymbol{X}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$
设有三张不同平面的方程
$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_i, i=1,2,3 ，
$$
它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 ，则这三张平面可能的位置关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵， $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的 3 个线性无关的解， $k_1, k_2$ 为任意常数，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{C.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_3-\eta_1\right)+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)+k_3\left(\eta_3-\eta_1\right)$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $A x=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆， $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为矩阵 $A$ 的列向量组， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 的通解为
$\text{A.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{B.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{C.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{D.}$ $x=k_1 \alpha_2+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵，若矩阵
$$
B=\left(\begin{array}{l}
\alpha_1^T \\
\alpha_2^T \\
\alpha_3^T
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), k \text { 为任意常数， }
$$
则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解为
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵，若矩阵
$B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 为任意常数，
则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解为 ( $\quad$ ）
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 如果方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解，则 ( )
$\text{A.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right) y=0$ 只有零解
$\text{B.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} B\end{array}\right) y=0$ 只有零解
$\text{C.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right) y=0$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right) y=0$ 同解
$\text{D.}$ 方程组 $\left(\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right) y=0$ 与 $\left(\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right) y=0$ 同解
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$, 则 $A x=b$ 的解的情况为 ( )
$\text{A.}$ 无解
$\text{B.}$ 有解
$\text{C.}$ 有无穷多解或无解
$\text{D.}$ 有唯一解或无解
设有齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $m \times n$ 实矩阵, 现有 4 个命题:
(1) 若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解，且 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关，则 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组也线性无关；
(2) 若 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}\right)=r(\boldsymbol{B})$ ；
(3) 若 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解;
(4) 若 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$, 且 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解.
以上命题正确的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (2)(3).
$\text{C.}$ (1)(4).
$\text{D.}$ (2)(4).
设 $\alpha, \beta$ 为 $n$ 维单位列向量, $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下列线性方程组中只有零解的是
$\text{A.}$ $\left(E-\alpha \alpha^T\right) x=0$
$\text{B.}$ $\left(\alpha^T P \alpha P^{-1}-\alpha \alpha^T\right) x=0$
$\text{C.}$ $\left(\alpha^T P^{-1} \beta P-\beta \alpha^T\right) x=0$
$\text{D.}$ $\left(E+\beta \beta^T\right) x=0$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $B , C$ 均是 $n \times s$ 矩阵, 且 $A B = A C$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $m=n$ 时, 必有 $B = C$
$\text{B.}$ $r( A )=m$ 时, 必有 $B = C$
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时, 必有 $B = C$
$\text{D.}$ $r( A )=n$ 时, 必有 $B = C$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 为方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系， $\beta _1=t_1 \alpha _1+t_2 \alpha _2, \beta _2=t_1 \alpha _2+t_2 \alpha _3, \ldots$, $\beta _s=t_1 \alpha _s+t_2 \alpha _1$, 其中 $t_1, t_2$ 为实常数, $s$ 为偶数。若 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 也为 $A x = 0$ 的一个基础解系，则 $t_1, t_2$ 满足的关系为 ( )
$\text{A.}$ $t_1=t_2$
$\text{B.}$ $t_1 \neq \pm t_2$
$\text{C.}$ $t_1 \neq t_2$
$\text{D.}$ $t_1 \neq-t_2$
设 $A$ 为 3 阶实对称阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随阵，且 $r ( A )+ r \left( A ^*\right)=1$ ，已知 $\lambda_1=2$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\alpha _1=(-1,1,1)^{ T }$ ，则方程组 $A x = 0$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $(1,1,0)^{ T }$
$\text{B.}$ $(1,2,-1)^{ T }$
$\text{C.}$ $(1,1,0)^{ T },(1,-1,0)^{ T }$
$\text{D.}$ $(2,1,1)^{ T },(1,0,1)^{ T }$
下列说法中：
（1）已知非零列向量 $\alpha$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解，其中 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则非齐次线性方程组 $A ^* x = \alpha$ 有解的充要条件是 $r( A )=n-1$ ；
（2）已知 $m \times n$ 矩阵 $A$ 行满秩， $B$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵，有 $A B = O , A \alpha = 0$ 成立，则存在唯一的列向量 $\gamma$ ，有 $B \gamma = \alpha$ 成立；
（3）已知齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 的基础解系分别为 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r r s}$ ，其中 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，两个方程组无非零公共解，则任一 $n$ 维列向量 $\eta$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ ， $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r-s}$ 唯一线性表示；
（4）若齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，则存在 $n$ 阶矩阵 $C _1, C _2$ 使得 $A = C _1 B , B = C _2 A$ ．正确的个数为（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法
（1）已知 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足 $B C = O$ ，且 $r( A ) < r( C )$ ，则存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha =$ Bo；
（2）已知矩阵方程 $A X B = C$ 有解，其中 $A , B , C$ 分别为 $m \times n, l \times s, m \times s$ 矩阵， $X$ 为 $n \times l$ 矩阵，若 $r( A )=r( A \vdots C )=n, r( B )=r\binom{ B }{ C }=l$ ，则方程 $A X B = C$ 有唯一解；
（3）非齐次方程组 $\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right)\binom{ x }{ y }=\binom{ 0 }{ \beta }$ 有解的充要条件是 $r( B )>0, r( A )=r( A \vdots \beta )$ ；
（4）非齐次方程组 $A x = \beta$ 有解的充要条件是向量 $\beta$ 与齐次方程组 $A ^{ T } x = 0$ 的所有解向量正交．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，则下列各个命题中，不是齐次线性方程组 $A x = 0$ 与齐次线性方程组 $B x=0$ 同解的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵方程 $X B = A$ 有解，且 $r( B )=r( A )$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A P = B$
$\text{D.}$ $r( A )=r( B )=r\left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $A ^n x = 0$ 和（II） $A ^{n+1} x = 0$ ，则必有
$\text{A.}$ （II）的解是（I）的解，（I）的解也是（II）的解。
$\text{B.}$ （ I ）的解是（ II ）的解，但（ II）的解不是（ I ）的解。
$\text{C.}$ （II）的解是（I）的解，但（I）的解不是（II）的解。
$\text{D.}$ （ I ）的解不是（ II ）的解，（ II ）的解也不是（ I ）的解。
6．已知非齐次线性方程组 $A x = b$ ，其增广矩阵经初等行变换化为
$$
\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & a-3 & 2 & 6 & a-1 \\
0 & 0 & a-2 & a & -2 \\
0 & 0 & 0 & -3 & a+1
\end{array}\right],
$$
若方程组无解，则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量．则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
设 $A, B, C$ 为 $n$ 阶方阵，则下列说法错误的是
$\text{A.}$ 若 $A B x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解，则 $r(\Lambda B)=r(B)$ ．
$\text{B.}$ 若 $r(A B)=r(B)$ ，则 $A B x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解．
$\text{C.}$ 若 $r(A B)=r(B)$ ，则 $r(A B C)=r(B G)$ ．
$\text{D.}$ 若 $r(A B C)=r(B C)$ ，则 $r(A B)=r(B)$ ．
设 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 是 3 阶实对称矩阵。 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11}=1, A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $\beta=(1,0,1)^{\top}$ 是 $A x=0$ 的一个基础解系，则 $\Lambda^{\circ} x=\beta$ 的通解为
$\text{A.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_2+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_2+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|=0$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $n$ 为偶数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解
$\text{B.}$ $n$ 为偶数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解
$\text{C.}$ $n$ 为奇数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解
$\text{D.}$ $n$ 为奇数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若线性方程组 $A x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解，则下列线性方程组中与 $A x=0$ 必同解的个数为
（1）$(A+B) x=0$ ；
（2）$A B x=0$ ；
（3）$B A x=0$ ；
（4）$\binom{A-B}{A+B} x=0$ ；
（5）$\binom{A}{B} x=0$ ．
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，$\beta$ 是 $n$ 维列向量，若 $A$ 的列向量组可由 $B$ 的列向量组表示，则
$\text{A.}$ 当 $A x=\beta$ 有解时，$B x=\beta$ 有解
$\text{B.}$ 当 $A^T x=\beta$ 有解时，$B^T x=\beta$ 有解
$\text{C.}$ 当 $B x=\beta$ 有解时，$A x=\beta$ 有解
$\text{D.}$ 当 $B^T x=\beta$ 有解时，$A^T x=\beta$ 有解
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ．若存在矩阵 $B$ 满足 $A B=C$ ，则
$\text{A.}$ $a=-1, b=-1$
$\text{B.}$ $a=2, b=2$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量。则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量。则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_4$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的一个基础解系，
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \quad \beta_2=\alpha_2+t \alpha_3, \\
& \beta_3=\alpha_3+t \alpha_4, \quad \beta_4=\alpha_4+t \alpha_1,
\end{aligned}
$$
其中 $t$ 为实常数. 试问 $t$ 满足什么条件时， $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 也为 $A x=0$ 的一个基础解系.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^2-1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$, 线性方程组 $A X=b$有无穷多解，则 $a=$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_2+a x_3=0 \\ a x_1+b x_2=2\end{array}\right.$ 有解，其中 $a, b$ 为常数.若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{array}\right)$ 若方程组 $A^2 x=0$ 与 $A x=0$ 不同解则 $a-b=$
已知 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 3 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -3 & 4 x & -2 \\ 2 x+1 & 2 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -4 & 4 x & -2\end{array}\right|, g(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 1 & 2 x+1 & 3 \\ 5 x+1 & -2 & 4 x & -3 \\ 0 & 1 & 2 x+1 & 2 \\ 2 x & -2 & 4 x & -4\end{array}\right|$, 则方程 $f(x)=g(x)$ 的不同的根的个数为
已知非齐次线性方程组 $A x = b$ 的通解为 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$（ $k_1, k_2$ 为任意常数），其中
试题 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$ 为 4 阶方阵，则方程组 $\left( \alpha _4, 2 \alpha _1, 3 \alpha _2, 4 \alpha _3\right) x = b$ 的通解为
设曲线 $L: y=y(x)(x \geqslant 0)$ 为单调递增函数，$y(0)=1$ ，且对任意 $P(x, y) \in L$ ，曲线在该点的斜率与 $[0, x]$ 上曲边梯形的面积之差为 $2 e ^x+\frac{1}{2} x^2$ ，则 $y(x)=$ $\qquad$ ．
设四元齐次线性方程组（I）$\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2-x_3=0, \\ x_1+2 x_2+x_3-x_4=0,\end{array}\right.$ 且四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_1=(2,-1, k+2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\xi}_2=(-1,2,4, k+8)^{\mathrm{T}}$ ，若方程组（I）与（II）没有非零公共解，则 $k$ 的取值范围为
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的四阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的 3 个解，其中 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2= (2,1,-8,10)^{\mathrm{T}}, 2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=(2,0,-24,29)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,-3,4)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解是