设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_4$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的一个基础解系，
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \quad \beta_2=\alpha_2+t \alpha_3, \\
& \beta_3=\alpha_3+t \alpha_4, \quad \beta_4=\alpha_4+t \alpha_1,
\end{aligned}
$$

其中 $t$ 为实常数. 试问 $t$ 满足什么条件时， $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 也为 $A x=0$ 的一个基础解系.