单选题 （共 39 题 ），每题只有一个选项正确
下列四个条件中， 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化的一个充分但不必要条件为（）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 有三个不相等的特征值
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 有三个线性无关的特征向量
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 有三个两两线性无关的特征向量
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的属于不同特征值的特征向量相互正交
设 $A$ 为三阶矩阵， $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是 (）
$\text{A.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}$
$\text{B.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{-1}$
$\text{C.}$ 存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} Q^{-1}$
$\text{D.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^T$
已知 $\boldsymbol{n}$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $A B C=O, E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵.记矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ B C & E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}A B & C \\ O & E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}E & A B \\ A B & O\end{array}\right)$ 的秩分别为 $r_1, r_2, r_3$ ，则( )
$\text{A.}$ $r_1 \leq r_2 \leq r_3$
$\text{B.}$ $r_1 \leq r_3 \leq r_2$
$\text{C.}$ $r_3 \leq r_2 \leq r_1$
$\text{D.}$ $r_2 \leq r_1 \leq r_3$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $M^*$ 为 $M$ 的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| B^* & -B^* A^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -A^* B^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -B^* A^* \\ O & |A| B^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^* & -\boldsymbol{A}^* B^* \\ -\boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right)$
在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，三张平面
$$
\pi_i: a_i x+b_i y+c_i z=d_i(i=1,2,3)
$$
的位置关系如下图所示.
记 $\alpha_i=\left(a_i, b_i, c_i\right), \beta_i=\left(a_i, b_i, c_i, d_i\right)$ ，若 $r\left(\begin{array}{l}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{array}\right)=m, r\left(\begin{array}{l}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3\end{array}\right)=n$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $m=1, n=2$
$\text{B.}$ $m=n=2$
$\text{C.}$ $m=2, n=3$
$\text{D.}$ $m=n=3$
设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 是满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=0$ 的非零向量，若对满足 $\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 的 3 维向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，均有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $A^3$ 的迹为 2
$\text{B.}$ $A^3$ 的迹为 5
$\text{C.}$ $A^2$ 的迹为 8
$\text{D.}$ $A^2$ 的迹为 9
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若
$P^T A P^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right) ，$ 则 $A= $
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，令 $\boldsymbol{P}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{P}_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_1^{100} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_2^{-1}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$
三阶矩阵 $A=\alpha \alpha^T+4 \beta \beta^T$, 正交矩阵 $Q=(\alpha, \gamma, \beta)$, 则 $x^T\left[(A+E)^*-5 E\right] x$ 在 $x^T x=5$ 下的最大值是
$\text{A.}$ 25
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ -15
设 $\alpha =(1,0,2)^{ T }, \beta =(4,1,-2)^{ T }$. 记 $A = \alpha \beta ^{ T }$, 则下列矩阵中, 可以写成 $( E + A )^n(n$ 为 $\geqslant 2$ 的正整数) 的是 ( )
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}9 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ -16 & 4 & 7\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}13 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 24 & -6 & -11\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}13 & 3 & -6 \\ 0 & 1 & 0 \\ -24 & 6 & 11\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}17 & 4 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 32 & 8 & -15\end{array}\right)$.
设 $A =\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶矩阵, 且其元素满足 $a_{i j}=-a_{i j}, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量, 矩阵 $B =\left(\begin{array}{cc} A & \beta \\ \beta ^{ T } & 0\end{array}\right)$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n$.
$\text{B.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n+1$.
$\text{C.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数,且 $r( B )=n$.
$\text{D.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数, 且 $r( B )=n+1$.
已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $\alpha$, 若向量组 $\alpha, A \alpha, A ^2 \alpha$ 线性无关, 且 $A^3 \alpha=3 A \alpha-2 A^2 \alpha$, 则秩 $r (A)=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
对 3 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A ^*$ 作以下初等变换: 先交换第一行与第三行, 再将第二列的 -2 倍加到第一列上得到 $- E$, 且 $| A |>0$, 则 $A$ 等于 $( s )$
$\text{A.}$ $-\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $-\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
下列矩阵中, 可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$
设 3 阶矩阵 $A, B$ 满足 $r(A B)=r(B A)+1$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $(A+B) x=0$ 只有零解
$\text{B.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 均只有零解
$\text{C.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 没有公共非零解
$\text{D.}$ 方程组 $A B A x=0$ 与方程组 $B A B x=0$ 有公共非零解
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $| A |>0, A ^* \sim\left(\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $r( E + A )+r( E - A )= $ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知 $m$ 阶非零矩阵 $A$ 满足 $A ^2= O$ ，当 $n \geqslant 2$ 时，有 $( E + A )^n( E -n A )=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $E$
$\text{B.}$ $2 E$
$\text{C.}$ $2 A$
$\text{D.}$ $A$
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B + A - B = E$ ，其中 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & a\end{array}\right)$ ，且 $B \neq- E$ ，若齐次线性方程组 $( A + B ) x = 0$ 有唯一解，则常数 $a=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{11}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 2
下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若矩阵 $A , B$ 相似，则不一定存在矩阵 $P _1, P _2$ ，使得 $A = P _1 P _2, B = P _2 P _1$
$\text{B.}$ 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A , B$ 都可相似对角化，则 $A B = B A$ 不一定成立
$\text{C.}$ 若 $n$ 阶矩阵 $A , B$ 都满足矩阵方程 $X ^2=\lambda X (\lambda \neq 0)$ ，则矩阵 $A , B$ 相似的充要条件为 $r( A )=r( B )$
$\text{D.}$ 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则矩阵 $A ^{ T } A$ 的特征值均大于 0
设 $A$ 为 $2 \times 3$ 非零矩阵， $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & k \\ -2 & 4 & -6 \\ 3 & -6 & 9\end{array}\right)$ ，且满足 $A B = O$ ，则
$\text{A.}$ 当 $k=3$ 时，必有 $r( A )=1$ ．
$\text{B.}$ 当 $k=3$ 时，必有 $r(A)=2$ ．
$\text{C.}$ 当 $k \neq 3$ 时，必有 $r( A )=1$ ．
$\text{D.}$ 当 $k \neq 3$ 时，必有 $r( A )=2$ ．
设 $A , B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r( X )$ 为矩阵 $X$ 的秩，则下列不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{lc} A & A B \\ O & A ^{ T } A \end{array}\right)=2 r( A )$
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{ll} A B & A \end{array}\right)=r\binom{ B A }{ A }$
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{ll} A & A A ^{ T } \\ O & A ^{ T } A \end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc} A & O \\ A ^{ T } A & A A ^{ T }\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $r\left(\begin{array}{ll} A & A B \\ O & B A \end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc} A & O \\ B A & A B \end{array}\right)$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列选项中不是矩阵 $A + E$ 可逆的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 存在矩阵 $P$ ，使得 $A = P ^{ T } P$
$\text{B.}$ 矩阵 $A$ 满足方程 $A ^3- A ^2-4 A +4 E = O$
$\text{C.}$ $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, \cdots, A \alpha _{n-1}= \alpha _n, A \alpha _n= \alpha _1$ ，其中 $\alpha _1, \cdots, \alpha _n$ 为线性无关的 $n$ 维列向量组
$\text{D.}$ $r( A )=1$ 且 $A$ 的各行元素之和均为 1
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $A ^{ T }$ 为 $A$ 的转置矩阵，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\left( A ^*\right)^*= A$ 的充分条件是 $A$ 为 2 阶矩阵
$\text{B.}$ $A ( A - E )= O$ 的必要条件是 $A$ 可相似对角化
$\text{C.}$ $B$ 为 $A$ 的伴随矩阵的充要条件是 $A B =| A | E$
$\text{D.}$ 若 $A ^*= A ^{ T }$ ，且 $n>2$ ，则 $A$ 为正交矩阵
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3 ．
$\text{B.}$ 6 ．
$\text{C.}$ 9 ．
$\text{D.}$ 12 ．
已知 $A , B$ 均为 $n$ 阶方阵，则必有（ ）
$\text{A.}$ $( A + B )^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{B.}$ $( A B )^{ T }= A ^{ T } B ^{ T }$
$\text{C.}$ $A B=O$ 时，$A=O$ 或 $B=O$
$\text{D.}$ $| A + A B |=0$ 等价于 $| A |=0$ 或 $| E + B |=0$
设 3 阶矩阵 $A$ 可逆，把矩阵 $A$ 的第 2 行与第 3 行交换得到矩阵 $B$ ，把矩阵 $B$ 的第 1 列的 -3 倍加到第 2 列得到单位矩阵 $E$ ，则 $A ^{-1}=()$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}a & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ -1 & -2 & a & -3\end{array}\right], B$ 为 $4 \times 2$ 非零矩阵，且 $A B = O$ ，则 $\left.\quad\right)$ ．
$\text{A.}$ $a=1$ 时，$B$ 的秩必为 2
$\text{B.}$ $a=1$ 时，$B$ 的秩必为 1
$\text{C.}$ $a \neq 1$ 时，$B$ 的秩必为 1
$\text{D.}$ $a \neq 1$ 时， $B$ 的秩必为 2
设 $M , N$ 为 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵， $A =\left(\begin{array}{cc} O & M \\ N & Q \end{array}\right)$ ，又 $P ^{-1} A P = B$ ，则 $B ^*=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $P^{-1}\left(\begin{array}{cc}-N^* Q M^* & |M| N^* \\ |N| M^* & O\end{array}\right) P$
$\text{B.}$ $\quad(-1)^{m n}\left(\begin{array}{cc}- N ^* Q M ^* & | M | N ^* \\ | N | M ^* & O \end{array}\right)$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n} P ^{-1}\left(\begin{array}{cc}- N ^* Q M \cdot & | M | N ^* \\ | N | M ^* & O \end{array}\right) P$
$\text{D.}$ $P^{-1}\left(\begin{array}{cc}O & |M| N^* \\ |N| M^* & -N \cdot Q M^*\end{array}\right) P$
设 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，令 $\boldsymbol{P}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{P}_2=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_1^{2022} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_2^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零实列向量，则关于矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$ ，正确的说法有（ ）个．
（1） $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵。
（2） $\boldsymbol{A}$ 是对合矩阵（即 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ）的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=2$ 。
（3） $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=2$ 。
（4） $\boldsymbol{A}$ 是幂等矩阵（即 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ ）的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$ 。
（5） $\boldsymbol{A}$ 是正定矩阵的充要条件是 $0 < \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi} < 1$ ．
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 4.
$\text{D.}$ 5 ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化成 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ ，则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-2\}$ ．
$\text{B.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-2, a \neq-1\}$ ．
$\text{C.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq 1, a \neq-1\}$ ．
$\text{D.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-1\}$ ．
单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵成为置换矩阵，设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ $A^*$ 为置换矩阵
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 为置换矩阵
$\text{C.}$ $A^{-1}=A^*$
$\text{D.}$ $A^{-1}=-A^*$
单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵。设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵， $\mid A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ $A^*$ 为置换矩阵
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 为置换矩阵
$\text{C.}$ $A^{-1}=A^*$
$\text{D.}$ $A^{-1}=-A^*$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ．若存在矩阵 $B$ 满足 $A B=C$ ，则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$
$\text{B.}$ $a=2, b=2$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=2, \quad b=-1$
设 $A$ 为 3 阶非零矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $A^*=-2 A$ ，则 $A^2=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆阵，且 $(\boldsymbol{A B})^2=\boldsymbol{E}$ ，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ $(\boldsymbol{B A})^2=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，且满足 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$ ．若 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆，记 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})^{-1}$ ，则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{B}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}^{-1}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B}$ 不一定可逆．
$\text{D.}$ 若 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}=0$ ，必有 $\boldsymbol{\alpha}=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是三个 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_n$ ．则有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})>n$ ．
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 2 n$ ．
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) < n$ ．