单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4}\end{array}\right|$ 的值等于
$\text{A.}$ $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}-b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$.
$\text{B.}$ $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$.
$\text{C.}$ $\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)\left(a_{3} a_{4}-b_{3} b_{4}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(a_{2} a_{3}-b_{2} b_{3}\right)\left(a_{1} a_{4}-b_{1} b_{4}\right)$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=0$ ，则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合
若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2$ 都是四维列向量，且四阶行列式 $ \left|\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \beta_1\right|=m,\left|\alpha_1 \alpha_2 \beta_2 \alpha_3\right|=n $, 则四阶行列式 $\left|\alpha_3 \alpha_2 \alpha_1\left(\beta_1+\beta_2\right)\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
$f(x)=\left|\begin{array}{llll}x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中的常数项为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 6 .
$\text{C.}$ -5 .
$\text{D.}$ 2 .
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & b & a & 0 \\ 1 & c & 0 & a \\ 1 & 0 & c & b \\ 1 & a & b & c\end{array}\right|=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{B.}$ $(a-c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{C.}$ $(a+c-b)(b-c-a)(c-a-b)$
$\text{D.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)$
$A =\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ 的所有元素的代数余子式 $A_{i j}$ 之和 $\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 A_{i j}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
设 $A=\left(\begin{array}{lll}x_1 & b_1 & c_1 \\ x_2 & b_2 & c_2 \\ x_3 & b_3 & c_3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}y_1 & b_1 & c_1 \\ y_2 & b_2 & c_2 \\ y_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ ，且 $|A|=3,|B|=-4$ ，则 $|A+B|$ 等 于
$\text{A.}$ -1 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ -2 ；
$\text{D.}$ -4 ．
$A$ 是 $n$ 阶矩阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，下列等式中错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\left|A A^*\right|=|A|^*$
$\text{B.}$ $\left|\left(A^*\right)^*\right|=|A|^{(n-1) 2}$
$\text{C.}$ $\left||A| A^*\right|=|A|^*$
$\text{D.}$ $\left|\left|A^*\right| A\right|=|A|^{n^2-n+1}$
设 $A$ 为三阶方阵，$A=\left(A_1, A_2, A_3\right)$ ，其中 $A_i(i=1,2,3)$ 为 $A$ 的三个列向量，则 $|A|$ 等于
$\text{A.}$ $\left|\left(A_1-A_2, A_2-A_3, A_3-A_1\right)\right|$
$\text{B.}$ $\left|\left(A_1+A_2, A_2+A_3, A_3-A_1\right)\right|$
$\text{C.}$ $\left|\left(A_1, A_1+A_2, A_1+A_2+A_3\right)\right|$
$\text{D.}$ $\left|\left(A_1+2 A_2, 2 A_2+3 A_3, 3 A_3+A_1\right)\right|$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为三维列向量，记矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，
$$
B=\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3\right) \text { ， }
$$
如果 $|A|=1$ ，那么 $|B|=$
设 $A, B$ 为三阶矩阵,且 $|A|=3,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2$,则 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}^{-1}\right|=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
设 $x \neq 0$, 则 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$
$\left|\begin{array}{ccc}b^2+c^2 & a^2+c^2 & a^2+b^2 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right|=$
设 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right), A_{i j}$ 为 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 A_{i j}=$
设
$$
f(x)=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & x \\
1 & 2 & 0 & x^2 \\
1 & 3 & 3 & x^3 \\
1 & 4 & 6 & x^4
\end{array}\right|,
$$
则 $f(x+1)-f(x)=$ $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量。已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$
设三阶矩阵 $A, B$ 分别为$A=\left(\alpha^T, 2 \gamma_2^T, 2 \gamma_3^T\right)^T, B=\left(\beta^T, \gamma_2^T, \gamma_3^T\right)^T$ ，其中 $\alpha, \beta, \gamma_2, \gamma_3$ 均为 3 维行向鱼，且已知行列式 $|A|=16,|B|=$ 2 ，则行列式 $|A-B|=$