单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^2 d x \int_{4-x^2}^4 f(x, y) d y=$
$\text{A.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{B.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{\sqrt{4 y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{C.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_2^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^4 d y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y)\right] d x$
二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
设函数 $f(x)=\sin x \cdot \ln \left(1+x^2\right)$ ，则 $f^{(5)}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ 80
$\text{B.}$ -80
$\text{C.}$ 50
$\text{D.}$ -50
下列函数在 $x=0$ 处不可导的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)= \begin{cases}\int_0^x \frac{|\ln \cos 2 t|}{t} d t, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{cases}$
$\text{B.}$ $f(x)=\sqrt{\left|x^3-x^4\right|}$
$\text{C.}$ $f(x)=1-\sqrt{\cos x}$
$\text{D.}$ $f(x)=\frac{1-2^{\frac{1}{x}}}{1+2^{\frac{1}{x}}} \cdot \sin 2 x$
设函数 $F$ 连续可偏导，且 $z=z(x, y)$ 由 $F\left(x^2-z^2, y^2-z^2, x^2+y^2\right)=0$ 确定，则 $y \frac{\partial z}{\partial x}- x \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_2^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{C.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{x y\left(F_2^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
当 $x \rightarrow 0$ 时，无穷小量 $\alpha_1=\int_x^{2 \sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, \alpha_2=\int_x^{\mathrm{e}^x-1} \ln \cos t \mathrm{~d} t, \alpha_3=\int_{x^2}^x \frac{\tan ^3 t}{t} \mathrm{~d} t$ 关于 $x$ 的阶数分别为
$\text{A.}$ $2,3,4$
$\text{B.}$ $3,3,3$
$\text{C.}$ $3,5,3$
$\text{D.}$ $3,4,3$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$y \geqslant 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ ，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小。
设函数 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f$ 二阶可导，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D \frac{1}{1+s^2+t^2} \mathrm{~d} s \mathrm{~d} t$ ，其中
$$
D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant x^2+y^2\right\} \text {, 又 } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0 \text {. }
$$
（1）试求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；（2）若 $f(0)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^4}$ ．