设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，已知 $\mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}, \mathbf{A}^2 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}$ ，若 $\mathbf{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A}^2 \boldsymbol{\alpha}\right)$ ，则方程组 $\mathbf{B x}=\mathbf{A} \boldsymbol{\beta}$ 的通解为（ ）
A. $k(-2,1,-1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
B. $k(2,-1,1)^{\mathrm{T}}+(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
C. $k(-2,1,1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
D. $k(2,-1,-1)^{\mathrm{T}}+(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．