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设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且对任意的 $x, y$ ，均有

$$
f^2(x)-f^2(y)=f(x+y) f(x-y) .
$$

$(I)$ 求 $f(0)$ ；
（II）证明：$f^{\prime \prime}(x) f(y)=f(x) f^{\prime \prime}(y)$ ；
（III）若 $f^{\prime \prime}(1)=f(1)=1$ ，求 $f(x)$ ．
                        
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