单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $a_n>a_{n+1}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛，则 $a_n>a_{n+1}$
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在
$\text{D.}$ 若存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
已知函数 $f(x, y)=\frac{e^x}{x-y}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x{ }^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
设 $X_1, X_2 \ldots \ldots X_n(n \geq 2)$ 来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论中不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体 $X-N\left(\mu, \sigma^2\right)$ $(\sigma>0)$ 的简单随机样本，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，
$$
S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}, S^*=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2} ，
$$
则
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}-t(n)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}-t(n-1)$
若 $\sum_{n=1}^{\infty} n u_n$ 绝对收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n}$ 条件收敛，则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 条件收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 绝对收敛
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且
$$
\begin{gathered}
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0 \\
P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}
\end{gathered}
$$
则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(0,0 ; 1,4 ;-\frac{1}{2}\right)$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $\boldsymbol{X}$ 独立的是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X-Y)$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) \mathrm{d} x=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ 且 $A^3=0$ 。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若矩阵 $X$ 满足 $X-X A^2-A X+A X A^2=E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，求 $X$ 。
差分方程 $\Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为
解答题 （共 24 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及
$$
f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x,
$$
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f\left(x^2\right) \int_0^x f\left(-t^2\right) \mathrm{d} t$ 的拐点.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$, 二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T\left(A^T A\right) x
$$
的秩为 2 .
(1) 求实数 $a$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f$ 化为标准形.
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ ，直线 $x=a(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形， $V_x, V_y$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $10 V_x=V_y$ ，求 $a$ 的值.
设平面区域 $D$ 是由直线 $x=3 y, y=3 x, x+y=8$ 围成，计算 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导， $f(0)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ ，证明:
(1) 存在 $a>0$ ，使得 $f(a)=1$ ；
(2) 对（I)中的 $a$ ，存在 $\xi \in(0, a)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{1}{a}$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
在给定 $\boldsymbol{X}=i$ 的条件下，随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从均匀分布
$$
U(0, i)(i=1,2) .
$$
(1) 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
(2) 求期望 $E(Y)$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数。
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
（2）设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$ 。记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
(2) 问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立? 并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
已知方程 $\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 内有实根，求 $k$ 的范围.
若 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_n+a_{n-1}\right)$ ， $(n=1,2,3, \cdots) ， S(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数
(1) 证明 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径不小于 1 ；
(2) 证明 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $S(x)$ 的表达式
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2},
$$
$Y$ 的概率概率密度为 $f(y)=\left\{\begin{array}{l}2 y, 0 < y < 1, \\ 0, \text { 其他. }\end{array}\right.$
(1)求 $P\{\boldsymbol{Y} \leq \boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}\}$ ；
(2)求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\boldsymbol{n}$ 次测量，该物体的质量 $\boldsymbol{\mu}$ 是已知的，设 $\boldsymbol{n}$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，该工程师记录的是 $\boldsymbol{n}$ 次测量的绝对误差
$$
Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)
$$
利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(1)求 $Z_i$ 的概率密度；
(2)利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量；
(III)求 $\sigma$ 的最大似然估计量.
已知 $\cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n(-1 < x < 1)$ ，求 $a_n$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
已知随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为
$$
P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2} .
$$
$Y$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松分布， $Z=X Y$.
(1)求 $\operatorname{cov}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z})$ ；
(2)求 $Z$ 的分布律.
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值。
设 $a_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x(n=1,2,3, \cdots)$
(1) 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，且
$$
a_n=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots) ;
$$
(2) 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$.
已知向量组
(I) $\alpha_1=(1,1,4)^T, \alpha_2=(1,0,4)^T, \alpha_3=\left(1,2, a^2+3\right)^T$,
(II) $\beta_1=(1,1, a+3)^T, \beta_2=(0,2,1-a)^T, \beta_3=\left(1,3, a^2+3\right)^T$,若向量组(I)和向量组(II) 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_3$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从参数为 1 的指数分布， $Y$ 的概率分布为
$$
\begin{aligned}
& \quad P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p(0 < p < 1) . \\
& \text { 令 } Z=X Y ，
\end{aligned}
$$
(1) 求 $Z$ 的概率密度；
(2) $p$ 为何值时， $\boldsymbol{X}$ 与 $Z$ 不相关；
(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立
设 $a, b$ 为常数，且当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-e$ 与 $\frac{b}{n^a}$ 为等价无穷小, 求 $a, b$ 的值.