设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从参数为 1 的指数分布， $Y$ 的概率分布为
$$
\begin{aligned}
& \quad P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p(0 < p < 1) . \\
& \text { 令 } Z=X Y ，
\end{aligned}
$$
(1) 求 $Z$ 的概率密度；
(2) $p$ 为何值时， $\boldsymbol{X}$ 与 $Z$ 不相关；
(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立