若 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_n+a_{n-1}\right)$ ， $(n=1,2,3, \cdots) ， S(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数
(1) 证明 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径不小于 1 ；
(2) 证明 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $S(x)$ 的表达式