数学试题讲解

若

a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} (n a_{n} + a_{n - 1})

，

(n = 1, 2, 3, \dots) ， S (x)

为幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的和函数
(1) 证明

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的收敛半径不小于 1 ；
(2) 证明

(1 - x) S^{'} (x) - x S (x) = 0 (x \in (- 1, 1))

，并求

S (x)

的表达式