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2024初三中考模拟试卷

数学

本试卷总分150分, 考试时间180分钟。

注意事项:

1.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷由kmath.cn命制。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})

是抛物线

y = a x^{2} - 2 a x

上的点, 下列命题正确的是 ( )

A.

若

| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |

, 则

y_{1} > y_{2}

B.

若

| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |

, 则

y_{1} < y_{2}

C.

若

| x_{1} - 1 | = | x_{2} - 1 |

, 则

y_{1} = y_{2}

D.

若

y_{1} = y_{2}

, 则

x_{1} = x_{2}

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2. 若

\frac{a^{2}}{a^{2} - 2} = \frac{1}{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}

, 则

(\frac{1}{1 - a} - \frac{1}{1 + a}) \div (\frac{a}{a^{2} - 1} + a)

的值是

A.

\sqrt{2} - \sqrt{3}

B.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

C.

- \sqrt{2} - \sqrt{3}

D.

\sqrt{2} + \sqrt{3}

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3. 分解因式

x^{2} + a x + b

时, Jagger看错了

a

的值, 分解的结果是

(x + 6) (x - 1), M e g

看错了

b

的值, 分解的结果是

(x

- 2) (x + 1)

, 那么正确的分解因式的结果是

A.

(x + 6) (x - 2)

B.

(x + 2) (x - 3)

C.

(x + 6) (x + 1)

D.

(x - 2) (x + 3)

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4. 如图, 平行四边形

A B C D

中,

P

是四边形内任意一点,

△ A B P, △ B C P, △ C D P, △ A D P

的面积分别为

S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}

, 则一定成立的是

A.

S_{1} + S_{2} = S_{3} + S_{4}

B.

S_{1} + S_{2} > S_{3} + S_{4}

C.

S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}

D.

S_{1} + S_{2} < S_{3} + S_{4}

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5. 对任意的整数

x, y

, 定义

x @ y = x + y - x y

, 则使得

(x @ y) @ z + (y @ z) @ x + (z @ x) @ y

= 0

的整数组

(x, y, z)

的个数为

A.

B.

C.

D.

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6. 满足

{(x^{2} + x - 1)}^{x + 2} = 1

的整数

x

的个数为

A.

B.

C.

D.

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7. 设

M = \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + \dots + \frac{1}{2050}

, 则

\frac{1}{M}

的整数部分是

A.

B.

C.

D.

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8. 已知

x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})

为关于

x

的方程

x^{3} - 3 x^{2} + (a + 2) x - a = 0

的三个实数根, 则

4 x_{1} - x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} =

A.

B.

C.

D.

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9. 方程

\sqrt{3 + \sqrt{9 + x}} = \sqrt[3]{x}

的实数根的个数为

A.

B.

C.

D.

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10. 如图,

△ A B P

为圆锥经过底面直径

A B

的最大截面,

A B = 6, P B = 9

, 点

C

为母线

P B

的中点. 一只蜘蛛要从点

A

沿圆雉侧面爬到点

C

, 则该蜘蛛要爬的最短路径长为

A.

B.

\frac{9}{2} \sqrt{3}

C.

3 \sqrt{3}

D.

63 \sqrt{3}

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11. 如图, 四边形

A B C D

中,

A C

为对角线, 已知

P 、 Q

分别是

△ A B C

和

△ A C D

内角平分线的交点,若

∠ A P C + ∠ A Q C = 250^{\circ}

, 则

∠ B A D + ∠ B C D

的值为

A.

220^{\circ}

B.

230^{\circ}

C.

240^{\circ}

D.

250^{\circ}

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12. 如图, 四边形

A B C D

是菱形, 对角线

A C, B D

相交于点

O, A C = 6 \sqrt{3}, B D = 6

, 点

P

是

A C

上一动点,点

E

是

A B

的中点, 则

P D + P E

的最小值为

A.

3 \sqrt{3}

B.

6 \sqrt{3}

C.

3

D.

6 \sqrt{2}

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13. 已知点

E, F

分别在正方形

A B C D

的边

C D, A D

上,

C D = 4 C E, ∠ E F B = ∠ F B C

, 则

\tan ∠ A B F =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{3}{5}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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14. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}, A C = 8

B C = 6

将边

B C

沿

C N

折叠, 使点

B

落在

A B

上的点

B^{'}

处, 再将边

A C

沿

C M

折叠, 使点

A

落在

C B^{'}

的延长线上的点

A^{'}

处, 两条折痕与斜边

A B

分别交于点

N 、 M

, 则线段

A^{'} M

的长为

A.

\frac{9}{5}

B.

\frac{8}{5}

C.

\frac{7}{5}

D.

\frac{6}{5}

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 若实数

x, y

满足

x^{3} + y^{3} + \frac{1}{4} (x + y) = \frac{15}{2}

, 则

x + y

的最大值为

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16. 已知实数

a, b, c

满足

a + b + c = 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1

, 则

\frac{a^{5} + b^{5} + c^{5}}{a b c} =

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17. 已知

p, q, r

为素数, 且

p q r

整除

p q + q r + r p - 1

, 则

p + q + r =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

18. 联合国教科文组织将每年的 3 月 14 日定为 “国际数学日”. 某校九年级在三月份开展了以 “数学文化” 为主题的阅读活动, 并随机抽查了部分学生在活动期间阅读相关文章的節数.
收集数据:

\begin{array}{r} 15 12 18 15 13 15 15 12 18 13 \\ 18 15 13 15 12 15 13 15 18 18 \end{array}

整理数据:

请你根据提供的信息解答下列问题:
(1) 直接写出

m

的值及学生阅读篇数的中位数:
(2) 求本次调查学生阅读篇数的平均数:
(3) 若该年级大约有 300 名学生, 请你估计该校九年级学生阅读关于 “数学文化” 的文章共多少篇?

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19. 在Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}, ∠ A = 30^{\circ}, B D

是

△ A B C

的角平分线,

D E ⊥ A B

于点

E

.在线段

A D

上任取一点

P

, 以

P B

为一边, 在

P B

的下方作

∠ B P Q = 60^{\circ}, P Q

交

D E

延长线于点

Q

. 请判断线段

D A, D P, D Q

之间的数量关系, 并证明你的结论.

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20. 【课本再现】(1) 如图 1, 正方形

A B C D

的对角线相交于点

O

, 点

O

又是正方形

A_{1} B_{1} C_{1} O

的一个顶点. 在实验与探究中, 小州发现近过证明

△ B O E ≅ △ C O F

, 可得

O E = O F

. 请帮助小州完成证明过程:
【类比探究】(2) 如图 2, 若四边形

A B C D

是矩形,

O

为对角线

B D

上任意一点, 过

O

作

O F ⊥ O A

,交

B C

于点

F

, 当

B C = 2 A B

时, 求证:

O A = 2 O F

:
【拓展提升】(3) 如图 3, 若四边形

A B C D

是平行四边形,

O

为对角线

B D

上任意一点, 点

F

在

B C

上, 且

∠ A O F = ∠ B A D

, 求证:

\frac{O F}{O A} = \frac{A B}{B C}

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21. 行驶中的汽车刹车后, 由于惯性还会继续向前滑行一段距离, 这段距离称为 “刹车距离”. 已知汽车

A

刹车后刹车距离

y

(单位:

m

) 与刹车时的速度

x

(单位:

m / s

) 的函数关系满足

y = a x^{2} + b x

. 当汽车的速度为

10 m / s

时, 刹车距离为

17 m

；当汽车的速度为

20 m / s

时, 刹车距离为

50 m

.
(1) 求

y

关于

x

的函数解析式;
( 2 ) 行驶中的汽车

A

突然发现正前方

100 m

处有一辆抛针的危险用品运输车, 紧急刹车, 此时汽车

A

的速度为

30 m / s

, 通过计算判断汽车

A

是否会撞上运输车;
(3) 若汽车

B

刹车后刹车距离

y

(单位:

m

) 与刹车时的速度

x

(单位:

k m / h

) 的函数关系满足

y = \frac{3}{50} x^{2} + c x (c > 0)

, 当

30 \leq

x \leq 50

时, 在相同的车速下汽车

A

的“刹车距离”始终比汽车

B

的“刹车距离”大, 直接写出

c

的取值范围.

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22. 小伟遇到这样一个问题: 如图 1, 在

△ A B C

(其中

∠ B A C

是一个可以变化的角) 中,

A B = 2, A C = 4

, 以

B C

为边在

B C

的下方作等边

△ P B C

, 求

A P

的最大值.
小伟是这样思考的: 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点

B

为旋转中心将

△ A B P

逆时针旋转

60^{\circ}

得到

△

A^{'} B C

, 连接

A^{'} A

, 当点

A

落在

A^{'} C

上时, 此题可解 (如图2).
请你回答:

A P

的最大值是
参考小伟同学思考问题的方法, 解决下列问题:
如图3, 等腰Rt

△ A B C

. 边

A B = 4, P

为

△ A B C

内部一点, 则

A P + B P + C P

的最小值是 . ( 结果可以不化简)

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23. 求所有的

a

, 使

| x^{2} + a x + 2 | ⩾ | x + 1 |

对

\forall x \in R

恒成立

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24. 在无穷大的单位方格表中放置若干个国际象棋中的象和马. 已知:
- 对每个象，存在一个马在象所在的对角线上，中间允许有其他棋子;
- 对每个马，存在一个象与马的距离恰为

\sqrt{5}

；
- 当任意去掉一个棋子时，上面两个条件不全成立.

若

n

是棋子的总数，求

n

的所有可能值.

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25. 称简单图

G

是可染色的，如果可以将每条边染为蓝、红、绿、白之一，使得
- 对

G

中每个度为 3 的顶点

v

，以

v

为端点的三条边要么蓝红绿各一条、要么全是白色;
- 存在非白色的边.

设

G

是一个简单连通图，有

a

个顶点的度为

4 、 b

个顶点的度为 3 ，且没有其他顶点，其中

a, b

是正整数. 求最小的实数

c

，使得若

\frac{a}{b} > c

，则

G

是可染色的.

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