在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, B D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $D E \perp A B$ 于点 $E$.在线段 $A D$ 上任取一点 $P$, 以 $P B$ 为一边, 在 $P B$ 的下方作 $\angle B P Q=60^{\circ}, P Q$ 交 $D E$ 延长线于点 $Q$. 请判断线段 $D A, D P, D Q$ 之间的数量关系, 并证明你的结论.