单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在下列哪个区间内有界
$\text{A.}$ $(-1,0)$
$\text{B.}$ $(0,1)$
$\text{C.}$ $(1,2)$
$\text{D.}$ $(2,3)$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{cl}
f\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{array}\right.
$$
则
$\text{A.}$ $x=0$ 必是 $g(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 必是 $g(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $x=0$ 必是 $g(x)$ 的连续点
$\text{D.}$ $g(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性与 $a$ 的取值有关
设 $f(x)=|x(1-x)|$. 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
设$f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1, x>0 \\
0, x=0, \quad F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t \\
-1, x < 0
\end{array}\right.$
则
$\text{A.}$ $F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续
$\text{B.}$ ${F}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，但在 $\boldsymbol{x}=0$ 点不可导
$\text{C.}$ ${F}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且满足 ${F}^{\prime}(x)=f(x)$
$\text{D.}$ ${F}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，但不一定满足 $F^{\prime}(x)=f(x)$
设有下列命题:
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ 收敛
（3）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
(4) 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛则以上命题中正确的是
$\text{A.}$ (1) (2)
$\text{B.}$ (2) (3)
$\text{C.}$ (3) (4)
$\text{D.}$ (1) (4)
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b) < 0$ ，则下列结论中错误的是
$\text{A.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(a)$.
$\text{B.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(b)$
$\text{C.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$.
$\text{D.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)=0$
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则必有
$\text{A.}$ 当 $|A|=a(a \neq 0)$ 时， $|B|=a$
$\text{B.}$ 当 $|A|=a(a \neq 0)$ 时， $|B|=-a$
$\text{C.}$ 当 $|A| \neq 0$ 时， $|B|=0$
$\text{D.}$ 当 $|A|=0$ 时， $|B|=0$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^* \neq 0$ ，若 $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 仅含一个非零解向量
$\text{C.}$ 含有两个线性无关的解向量
$\text{D.}$ 含有三个线性无关的解向量
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_\alpha$ 满足
$P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
$\text{C.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5$ ，则 $a=$ $\qquad$ $b=$
设 $y=\arctan e^x-\ln \sqrt{\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}}$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$
设函数 $f(u, v)$ 由关系式 $f[x g(y), y]=x+g(y)$ 确定，其中函数 $g(y)$ 可微，且 $g(y) \neq 0$ ，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{x^2}, & -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ -1, & x \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ ，则 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=P^{-1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004}-2 A^2=$
设 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 是实正交矩阵，且 $a_{11}=1, \quad b=(1,0,0)^T$ ，则线性方程组 $A x=b$ 的解是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，则
$$
P\{X>\sqrt{D X}\}=
$$
总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ ，总体 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_2, \sigma^2\right) ， X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 分别是来自总体 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则
$$
E \frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(X_i-\bar{X}\right)^2+\sum_{j=1}^{n_2}\left(Y_j-\bar{Y}\right)^2}{n_1+n_2-2}=
$$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{x^2}\right)$
设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足
$$
f_u^{\prime}(u, v)+f_v^{\prime}(u, v)=u v .
$$
求 $y(x)=e^{-2 x} f(x, x)$ 所满足的一阶微分方程，并求其通解.
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 x}, x \leq 0 \\ e^{-2 x}, x>0\end{array}\right.$ ，S 表示夹在 $x$ 轴与曲线 $y=F(x)$ 之间的面积. 对任何 $t>0, S_1(t)$ 表示矩形 $-t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F(t)$ 的面积. 求
(1) $S(t)=S-S_1(t)$ 的表达式；
(2) $S(t)$ 的最小值.
求 $\iint_D\left(\sqrt{x^2+y^2}+y\right) \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D$ 是由圆 $x^2+y^2=4$和 $(x+1)^2+y^2=1$ 所围成的平面区域.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且满足
$$
\begin{aligned}
& \int_a^x f(t) \mathrm{d} t \geq \int_a^x g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b) \\
& \int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\int_a^b g(t) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
证明: $\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b x g(x) \mathrm{d} x$.
设某商品的需求函数为 $Q=100-5 P$ ，其中价格 $P \in(0,20) ， Q$ 为需求量.
(1) 求需求量对价格的弹性 $E_{\mathrm{d}}\left(E_{\mathrm{d}}>0\right)$ ；
(2) 推导 $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}=Q\left(1-E_{\mathrm{d}}\right)$ (其中 $R$ 为收益)，并用弹性 $E_{\mathrm{d}}$ 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
设级数 $\frac{x^4}{2 \cdot 4}+\frac{x^6}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{x^8}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots(-\infty < x$ $ < +\infty)$ 的和函数为 $S(x)$. 求:
（1） $S(x)$ 所满足的一阶微分方程；
(2) $S(x)$ 的表达式.
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0 \\ 2 x_1+x_2+x_3+2 x_4=0 \\ 3 x_1+(2+\lambda) x_2+(4+\mu) x_3+4 x_4=1\end{array}\right.$.
已知 $(1,-1,1,-1)^T$ 是该方程组的一个解，试求:
（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系
表示全部解;
设 $\alpha_1=(1,2,0)^T, \alpha_2=(1, a+2,-3 a)^T$ ， $\alpha_3=(-1,-b,-2, a+2 b)^T, \beta=(1,3,-3)^T$ ，
试讨论当 $a, b$ 为何值时，
(1) $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示;
（2） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一地线性表示，并求出表示式；
(3) $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，但表示式不唯一，并求表示式.
设三阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2 ， \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值. 若
$$
\alpha_1=(1,1,0)^T, \alpha_2=(2,1,1)^T, \alpha_3=(-1,2,-3)^T
$$
都为 $A$ 的属于特征值 6 的特征向量.
(1) 求 $A$ 的另一特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & b & \cdots & b \\ b & 1 & \cdots & b \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b & b & \cdots & 1\end{array}\right)$
(1) 求 $A$ 的特征值和特征向量；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
设随机变量 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，在 $X=x$ $(0 < x < 1)$ 的条件下，随机变量 $Y$ 在区间 $(0, x)$ 上服从均匀分布，求:
（1）随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 的联合概率密度;
(2) $Y$ 的概率密度;
(3) 概率 $P\{X+Y>1\}$.
设 $A, B$ 为两个随机事件，且
$$
\begin{array}{r}
P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2} \\
\text { 令 } X=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A \text { 发生 } \\
0, & A \text { 不发生 }
\end{array} \quad Y= \begin{cases}1, & B \text { 发生 } \\
0, & B \text { 不发生 }\end{cases} \right.
\end{array}
$$
求: (1) 二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布;
(2) $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$
(3) $Z=X^2+Y^2$ 的概率分布.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x, \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{cl}
1-\left(\frac{\alpha}{x}\right)^\beta, & x>\alpha, \\
0, & x \leq \alpha,
\end{array}\right.
$$
其中参数 $\alpha>0, \beta>1$. 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，
（1）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的矩估计量;
（2）当 $\alpha=1$ 时，求未知参数 $\beta$ 的最大似然估计量;
(3) 当 $\beta=2$ 时，求未知参数 $\alpha$ 的最大似然估计量.