设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{cl}
f\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{array}\right.
$$
则
A. $x=0$ 必是 $g(x)$ 的第一类间断点
B. $x=0$ 必是 $g(x)$ 的第二类间断点
C. $x=0$ 必是 $g(x)$ 的连续点
D. $g(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性与 $a$ 的取值有关