单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，周期为 4 、且满足条件 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ ，讨论函数 $f(x)$ 的间断点，其结论为
$\text{A.}$ 不存在间断点.
$\text{B.}$ 存在间断点 $x=1$
$\text{C.}$ 存在间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ 存在间断点 $x=-1$
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵记为 $A$ ，若存在三阶矩阵 $B \neq 0$ ，使得 $A B=0$ ，则
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ 且 $|B|=0$
$\text{B.}$ $\lambda=-2$ 且 $|B| \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda=1$ 且 $|B|=0$
$\text{D.}$ $\lambda=1$ 且 $|B| \neq 0$
若向量组 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关， $\alpha, \beta, \delta$ 线性相关，则
$\text{A.}$ $\alpha$ 必可由 $\beta, \gamma, \delta$ 线性表示
$\text{B.}$ $\beta$ 必不可由 $\alpha, \gamma, \delta$ 线性表示
$\text{C.}$ $\delta$ 必可由 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性表示
$\text{D.}$ $\delta$ 必不可由 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性表示
设 $n(n \geq 3)$ 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ a & 1 & a & \cdots & a \\ a & a & 1 & \cdots & a \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a & a & a & \cdots & 1\end{array}\right)$, 若矩阵 $A$ 的秩为 $n-1$ ，则 $a$ 必为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{1-n}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$
设 $A, B, C$ 是三个相互独立的随机事件，且 $0 < P(C) < 1$, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
$\text{A.}$ $\overline{A+B}$ 与 $C$
$\text{B.}$ $\overline{A C}$ 与 $\bar{C}$
$\text{C.}$ $\overline{A-B}$ 与 $\bar{C}$
$\text{D.}$ $\overline{A B}$ 与 $\bar{C}$
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数，为使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $f(x)=x^n$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $\left(\xi_n, 0\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(\xi_n\right)=$
$\int \frac{\ln x-1}{x^2} \mathrm{~d} x=$
差分方程 $2 y_{t+1}+10 y_t-5 t=0$ 的通解是
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵， $|A|=2,|B|=-3$ ，则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
设矩阵 $A, B$ 满足 $A^* B A=2 B A-8 E$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), E$ 为单位矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $B=$
设一次试验成功的概率为 $p$ ，进行 100 次独立重复试验，当 $p=$ $\qquad$时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 $\qquad$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的简单随机样本， $X=a\left(X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2$ ，则当
$a=$ $\qquad$ $b=$ $\qquad$时，统计量 $X$ 服从 $\chi^2$ 分布，其自由度为 $\qquad$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \tan \frac{1}{n}\right)^{n^2}$ ( $n$ 为自然数).
设 $z=\left(x^2+y^2\right) e^{-\arctan \frac{y}{x}}, \mathrm{~d} z$ 与 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq x\right\}$ ，求 $\iint_D \sqrt{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 $t=0$ )就售出，总收入为 $R_0$ (元)，如果害藏起来待来日按陈酒价格出售， $t$ 年末总收入为 $R=R_0 e^{\frac{2}{5} \sqrt{t}}$. 假定银行的年利率为 $r$ ，并以连续复利计息，试求害藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 $r=0.06$ 时的 $t$ 值.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $e^{\eta-\xi}\left[f(\eta)+f^{\prime}(\eta)\right]=1$，试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得
$$
e^{\eta-\xi}\left[f(\eta)+f^{\prime}(\eta)\right]=1
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导, 且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，试证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得
$$
\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a} e^{-\eta}
$$
设直线 $y=a x$ 与拋物线 $y=x^2$ 所围成图形的面积为 $S_1$ ，它们与直线 $x=1$ 所围成的图形面积为 $S_2$ ，且 $a < 1$.
(1) 试确定 $a$ 的值，使 $S_1+S_2$ 达到最小，并求出最小值；
(2) 求该最小值所对应的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
设有两条抛物线
$$
y=n x^2+\frac{1}{n} \text { 和 } y=(n+1) x^2+\frac{1}{n+1} \text {, }
$$
记它们交点的横坐标的绝对值为 $a_n$.
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 $S_n$ ；
(2) 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{a_n}$ 的和.
设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x=t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转
一周所成的旋转体体积为
$$
V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^2 f(t)-f(1)\right]
$$
试求 $y=f(x)$ 所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 $\left.y\right|_{x=2}=\frac{2}{9}$ 的解.
设向量 $\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)^T, \beta=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)^T$ 都是非零向量，且满足条件 $\alpha^T \beta=0$. 记 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\alpha \beta^T$
求: (1) $A^2$;
(2) 矩阵 $A$ 的特征值和特征向量.
已知下列非齐次线性方程组(I) 和(II)，
(I) $:\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-2 x_4=-6 \\ 4 x_1-x_2-x_3-x_4=1 \\ 3 x_1-x_2-x_3=3\end{array}\right.$
(II) : $\left\{\begin{array}{l}x_1+m x_2-x_3-x_4=-5 \\ n x_2-x_3-2 x_4=-11 \\ x_3-2 x_4=-t+1\end{array}\right.$
(1) 求解方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；
（2）当方程组 (II) 中的参数 $m, n, t$ 为何值时，方程组 (I) 与
(II) 同解.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B=(k E+A)^2$ ，其中 $k$为实数， $E$ 为单位阵，求对角矩 $\Lambda$ ，使 $B$ 与 $\Lambda$ 相似，并求 $k$为何值时， $B$ 为正定矩阵.
设某种商品每周的需求量 $X$ 是服从区间 $[10,30]$ 上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量为区间 $[10,30]$ 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元; 若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元，为使商品所获利润期望值不小于 9280 元，试确定最少进货量.
一商店经销某种商品，每周进货的数量 $X$ 与顾客对该种商品的需求量 $Y$ 是相互独立的随机变量，且都服从区间 $[10,20]$上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润 1000 元; 若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 500 元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
设有来自三个地区的各 10 名、 15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、 7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
（1）求先抽到的一份是女生表的概率 $p$ ；
（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 $q$.
某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、 10 件和 10 件，现在从中随机抽取一件，记
$$
X_i=\left\{\begin{array}{cc}
1 & \text { 若抽到 } i \text { 等品 } \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}(i=1,2,3)\right.
$$
试求：(1) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的联合分布；
(2) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的相关系数 $\rho$.