设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x=t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转
一周所成的旋转体体积为
$$
V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^2 f(t)-f(1)\right]
$$
试求 $y=f(x)$ 所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 $\left.y\right|_{x=2}=\frac{2}{9}$ 的解.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$