2024届江苏百校联考高三第二次12月联考数学试题及答案

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2024届江苏百校联考高三第二次12月联考数学试题及答案

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知复数

z

满足

z (1 + i) = 1 - 3 i

, 则复数

z

的共轭复数

\bar{z}

的模长为

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

D.

\sqrt{5}

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2. 已知集合

M = {x ∣ \frac{1}{x - 1} < - 1}, N = {x ∣ \ln x < 1}

, 则

M \cup N =

A.

(0, 1]

B.

(1, e)

C.

(0, e)

D.

(- \infty, e)

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3. 已知平面向量

a = (- 2, 1), c = (2, t)

, 则 “

t > 4

” 是 “向量

a

与

c

的夹角为锐角” 的

A.

充分不必要条件

B.

充要条件

C.

必要不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 若函数

f (x) = \sin (ω_{X} + ϕ) (ω > 0, | ϕ | < \frac{π}{2})

的部分图象如图所示,

A (\frac{π}{3}, 0), B (\frac{7 π}{12}, - 1)

，则

f (x)

的解析式是

A.

f (x) = \sin (x + \frac{π}{6})

B.

f (x) = \sin (x \frac{π}{6})

C.

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})

D.

f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})

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5. 将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为

x, y

, 记

A

事件为 “

C_{8}^{x} > C_{8}^{y}

”, 则

P (A) =

A.

\frac{11}{36}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{13}{36}

D.

\frac{5}{12}

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6. 若直线

y = a x + b

是曲线

y = \ln x (x > 0)

的一条切线, 则

2 a + b

的最小值为

A.

2 \ln 2

B.

\ln 2

C.

\frac{1}{2} \ln 2

D.

1 + \ln 2

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7. 已知抛物线

C_{:} y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 且抛物线

C

过点

P (1, - 2)

, 过点

F

的直线与拋物线

C

交于两点,

A_{1}, B_{1}

分别为

A, B

两点在抛物线

C

准线上的投影,

M

为线段

A B

的中点,

O

为坐标原点, 则下列结论正确的是

A.

线段

A B

长度的最小值为 2

B.

△ A_{1} F B_{1}

的形状为锐角三角形

C.

A, O, B_{1}

三点共线

D.

M

的坐标不可能为

(3, - 2)

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8. 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

S_{n} + a_{n} = 1

, 记

b_{m}

为数列

{a_{n}}

中能使

a_{n} ⩾ \frac{1}{2 m + 1} (m \in N^{*})

成立的最小项, 则数列

{b_{m}}

的前 2023 项和为

A.

2023 \times 2024

B.

2^{2024} - 1

C.

6 - \frac{3}{2^{7}}

D.

\frac{11}{2} - \frac{3}{2^{8}}

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 已知定义在

R

上的奇函数

f (x)

满足

f (x - 1) = f (x + 1)

, 则以下说法正确的是

A.

f (0) = 0

B.

f (2023) = 1

C.

f (x)

的一个周期为 2

D.

f (5) = f (4) + f (3)

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10. 双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

, 左、右顶点分别为

A, B, O

为坐标原点, 如图, 已知动直线

l

与双曲线

C

左、右两支分别交于

P, Q

两点, 与其两条渐近线分别交于

R, S

两点, 则下列命题正确的是

A.

存在直线

l

, 使得

A P / / O R

B.

l

在运动的过程中, 始终有

| P R | = | S Q |

C.

若直线

l

的方程为

y = k x + 2

, 存在

k

, 使得

S_{△ C R B}

取到最大值

D.

若直线

l

的方程为

y = - \frac{\sqrt{2}}{2} (x - a), \vec{R S} = 2 \vec{S B}

, 则双曲线

C

的离心率为

\sqrt{3}

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11. 在平行六面体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A B = A A_{1} = 2, A D = 1, ∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}

, 动点

P

在直线

C D_{1}

上运动, 以下四个命题正确的是

A.

B D ⊥ A P

B.

四棱雉

P - A B B_{1} A_{1}

的体积是定值

C.

若

M

为

B C

的中点, 则

\vec{A_{1} B} = 2 \vec{A M} - \vec{A C_{1}}

D.

\vec{P A} \cdot \vec{P C}

的最小值为

\frac{1}{4}

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12. 已知函数

f (x) = a (e^{x} + a) - x

, 则下列结论正确的有

A.

当

a = 1

时,方程

f (x) = 0

存在实数根

B.

当

a ⩽ 0

时,函数

f (x)

在

R

上单调递减

C.

当

a \times 0

时,函数

f (x)

有最小值，且最小值在

x = \ln a

处取得

D.

当

a > 0

时，不等式

f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}

恒成立

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 若关于

x

的不等式

a x^{2} - 2 x + a ⩽ 0

在区间

[0, 2]

上有解, 则实数

a

的取值范围是

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14. 已知

{a_{n}}

是递增的等比数列，且满足

a_{3} = 1, a_{1} + a_{3} + a_{5} = \frac{91}{9}

, 则

a_{4} + a_{6} + a_{8} =

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15. 如图,若圆台的上、下底面半径分别为

r_{1}, r_{2}

, 且

r_{1} r_{2} = 3

, 则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为

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16. 设

a > 0

,已知函数

f (x) = e^{x} - a \ln (a x + b) - b

, 若

f (x) ⩾ 0

恒成立，则

a b

的最大值为

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 锐角

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a_{1} b, c

, 已知

\frac{1 - \cos A}{\sin A} = \frac{\sin 2 B}{1 + \cos 2 B}

.
(1)证明:

\cos B = \frac{a}{2 b}

.
(2)求

\frac{a}{b}

的取值范围.

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18. 受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有

8 %, 6 %, 4 %

的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为

4 : 6 : 10

, 现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
(2)若此人感染支原体肺炎病毒, 求他来自甲市的概率.

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19. 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

已知

a_{1} = 3, 2 S_{n} = 3 a_{n} - 3

.
(1)证明数列

{a_{n}}

为等比数列;
(2)设数列

{a_{n}}

的前

n

项积为

T_{n,}

若

\sum_{k = 1}^{n} \frac{(1 - 2 k) (S_{k} - 2 a_{k} + \frac{3}{2})}{\log_{3} T_{k}} > \frac{λ ∙ a_{n}}{n + 1}

对任意

n \in N^{*}

恒成立，求整数

λ

的最大值.

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20. 设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右顶点分别为

A_{1}, A_{2}

, 右焦点为

F

，已知

\vec{A_{1} F} = 3 \vec{F A_{2}}

.
(1)求椭圆的离心率.
(2)已知椭圆右焦点

F

的坐标为

(1, 0), P

是椭圆在第一象限的任意一点，且直线

A_{2} P

交

y

轴于点

Q

. 若

△ A_{1} P Q

的面积与

△ A_{2} F P

的面积相等,求直线

A_{2} P

的斜率.

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21. 如图所示,在四棱椎

P - A B C D

中, 底面

A B C D

是正方形, 平面

P A D ⊥

平面

A B C D

, 平面

P C D ⊥

平面

A B C D

.
(1)证明:

P D ⊥

平面

A B C D

.
(2)若

P D = A D ， M

是

P D

的中点，

N

在线段

P C

上,求平面

B M N

与平面

A B C D

夹角的余弦值的取值范围.

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22. 已知函数

f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} (a > 0)

.
(1) 若函数

f (x)

在定义域内为减函数, 求实数

a

的取值范围;
(2)若函数

f (x)

有两个极值点

x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})

, 证明:

x_{1} x_{2} < \frac{1}{a}

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