在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=A A_1=2, A D=1, \angle B A D=\angle B A A_1=\angle D A A_1=60^{\circ}$, 动点 $P$ 在直线 $C D_1$ 上运动, 以下四个命题正确的是
$\text{A.}$ $B D \perp A P$
$\text{B.}$ 四棱雉 $P-A B B_1 A_1$ 的体积是定值
$\text{C.}$ 若 $M$ 为 $B C$ 的中点, 则 $\overrightarrow{A_1 \mathrm{~B}}=2 \overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A C_1}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$