解答题 （共 30 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知随机变量 X 的密度函数 $f(x)= \begin{cases}a x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{cases}$
求：（1）常数 $a$ ，
（2）$p(0.5 < X < 1.5)$
（3） X 的分布函数 $\mathrm{F}(x)$ 。
设随机变量（ $\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的联合概率密度为：$f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}2 y, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text { ，其它 }\end{array}\right.$
求：（1） $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的边缘密度，
（2）讨论 X 与 Y 的独立性。
设总体 $\mathrm{X} \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \ldots, X_n$ 是一个样本，求 $\sigma^2$ 的矩估计量，并证明它为 $\sigma^2$ 的无偏估计。
从总体 $X \sim N\left(u, \sigma^2\right)$ 中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是 $\bar{X}=75, S^2=4, \quad t_{0.975}(15)=2.1315, x_{0.025}^2(15)=6.26, x_{0.975}^2(15)=27.5$求 $u$ 的置信度为 0.95 的置信区间和 $\sigma^2$ 的置信度为 0.95 的置信区间。
设某工厂生产工件的直径服从正态分布，要求它们的均值 $u=8, \sigma^2 \leq 0.25$ ，现检验了一组由 16 只工件，计算得样本均值、样本方差分 别 $\bar{x}=7.65, s^2=0.49$ ，试在显著水平 $\alpha=0.05$ 下，对该厂生产的工件的均值和方差进行检验，看它们是否符合标准。
此题中，$t_{0.5}(15)=1.76, t_{0.025}(15)=2.13, \chi_{0.05}^2(15)=25, \chi_{0.025}^2(15)=27.5$ ，
甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为 $0.2,0.1,0.3$ ．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 $15 \%, 80 \%, 5 \%$ 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率．
已知随机变量 X 的密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}a x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{array}\right.$
求：（1）常数 $a$ ，
（2）$p(0 < X < 0.5)$
（3） X 的分布函数 $\mathrm{F}(x)$
设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：$f(x, y)= \begin{cases}4 x y, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text { ，其它 }\end{cases}$
求：（1） $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的边缘密度，（2）由（1）判断 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的独立性。
从总体 $X \sim N\left(u, \sigma^2\right)$ 中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是
$$
\bar{X}=75, S^2=4, \quad t_{0.975}(15)=2.1315, x_{0.025}^2(15)=6.26, x_{0.975}^2(15)=27.5
$$
求 $u$ 的置信度为 0.95 的置信区间和 $\sigma^2$ 的置信度为 0.95 的置信区间。
设总体 $\mathrm{X} \sim N(u, 1), u$ 末知。 $X_1, \ldots, X_n$ 是一个样本，求 $u$ 的最大似然估计量，并证明它为 $u$ 的无偏估计。
某人寿保险公司每年有 10000 人投保，每人每年付 12 元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付 1000 元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为 0.0064 。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率。已知 $\phi(1)=0.8413$ ， $\phi(2)=0.9772$ 。
已知随机变量 X 的密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{a}{x^2}, & 2 \leq x < +\infty \\ 0 & \text { ，其它 }\end{array}\right.$
求：（1）常数 $a$ ，
（2）$p(0.5 < X < 4)$
（3） X 的分布函数 $F (x)$
设随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的概率密度分别为：$f_X(x)= \begin{cases}e^{-x}, & 0 \leq x, \\ 0 & \text { ，其它 }\end{cases} f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq y \leq 1, \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，且随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立。
（1）求（ $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ ）的联合概率密度为：$f(x, y)$
（2）计算概率值 $p\{Y \geq 2 X\}$ 。
设总体 X 服从均匀分布 $U(a, b), X_1, \Lambda, X_n$ 是 X 的一个样本，求 $a, b$ 的矩估计量
从总体 $X \sim N\left(u, \sigma^2\right)$ 中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分别是：
$$
\bar{X}=80, S^2=9, \quad t_{0.025}(24)=2.0639, x_{0.975}^2(24)=12.4, x_{0.025}^2(24)=39.36
$$
求 $u$ 的置信度为 0.95 的置信区间和 $\sigma^2$ 的置信度为 0.95 的置信区间。
某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布 $N\left(u, \sigma^2\right), u, \sigma^2$ 未知，该校校长声称学生 平均成绩为 70 分，现抽取 16 名学生的成绩，得平均分为 68 分，标准差为 3 分，请在显著水平 $\alpha=0.05$ 下，检验该校长的断言是否正确。（此题中 $t_{0.025}(15)=2.1315$ ）
设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布 $N\left(u, \sigma^2\right), \sigma^2, u$ 未知，现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过 10 克，现检验了一组 16 只数显称重器，得标准差 12 克，试检验制造商的言是否正确（取 $\alpha=0.05$ ），此题中 $\chi_{0.05}^2(15)=24.996$ 。
某工厂要求供货商提供的元件一级品率为 $90 \%$ 以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取 100 件，经检验发现有 84 件为一级品，试以 $5 \%$ 的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知 $Z_{0.05}=1.645$ ，提示用中心极限定理）
已知随机变量 X 的密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}\frac{a}{1+x^2}, & 0 \leq x < +\infty \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$
求：（1）常数 $a$ ，
（2）$p(-1 < X < \sqrt{3})$（3） X 的分布函数 $\mathrm{F}(\mathrm{X})$ 。
设随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的概率密度分别为：$f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq 2, \\ 0 & \text { ，其它 }\end{array}\right. f_Y(y)=\left\{\begin{array}{lc}2 y, & 0 \leq y \leq 1, \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，且随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立。
（1）求 $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的联合概率密度为：$f(x, y)$
（2）计算概率值 $p\left\{Y \geq X^2\right\}$ 。
从总体 $X \sim N\left(u, \sigma^2\right)$ 中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分别是
$$
\bar{X}=80, S^2=9, \quad t_{0.05}(24)=1.71, x_{0.95}^2(24)=13.85, x_{0.05}^2(24)=36.42
$$
分别求 $u 、 \sigma^2$ 的置信度为 0.95 的单侧置信下限。
设总体 X 服从 $N\left(u, \sigma^2\right), \sigma^2$ 已知，$u$ 末知。 $X_1, \Lambda, X_n$ 是 X 的一个样本，求 $u$ 的极大似然估计量，并证明它为 $u$ 的无偏估计。
一工厂生产化学制品的日产量（以吨计）近似服从正态分布，当设备正常时一天产 800吨，现测得最近 5 天的产量分别为： $785,805,790,790,802$ ，问是否可以认为日产量显著不为 800吨。（取 $\alpha=0.05$ ），此题中 $t_{0.025}(4)=2.7764$ 。
设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布 $N\left(u, \sigma^2\right), \sigma^2, u$ 未知，现他声称他的温度计读数的标准差为不超过 0.5 ，现检验了一组 16 只温度计，得标准 0 。 7 度，试检验制造商的言是否正确（取 $\alpha=0.05$ ），此题中 $\chi_{0.05}^2(15)=24.996$ 。
某工厂要求供货商提供的元件一级品率为 $90 \%$ 以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取 100 件，经检验发现有 84 件为一级品，试以 $5 \%$ 的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知 $Z_{0.05}=1.645$ ，提示用中心极限定理）
计算机中心有三台打字机 A，B，C，程序交与各打字机打字的概率依次为 $0.6,0.3$ ， 0.1 ，打字机发生故障的概率依次为 $0.01,0.05,0.04$ 。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 上打字的概率分别为多少？
设随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的概率密度分别为：$f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-x}, & 0 \leq x, \\ 0 \quad, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ， $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{lc}2 y, & 0 \leq y \leq 1, \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，且随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立。
（1）求（ $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ ）的联合概率密度为：$f(x, y)$
（2）计算概率值 $p\{Y \leq 2 X\}$ 。
一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从 30 车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）
$$
\begin{aligned}
& 16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.1 \\
& 15.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.4 \\
& 15.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8
\end{aligned}
$$
设样本来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均末知。经计算 $\bar{x}=14.72, s^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2=1.9072$ ，
$$
t_{0.05}(29)=1.6991, x_{0.95}^2(29)=17.708, x_{0.05}^2(29)=42.557
$$
求（1）$\mu$ 的置信水平为 $90 \%$ 的置信区间；（2）$\sigma^2$ 的置信水平为 $90 \%$ 的置信区间。
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，参数 $\mu$ 已知，$\sigma^2\left(\sigma^2>0\right)$ 未知，$x_1, x_2, ..., x_n$ 为一相应的样本值。求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量。，并证明它为 $\sigma^2$ 的无偏估计。
测得某地区 16 个成年男子的体重（以公斤计）为
$$
\begin{aligned}
& 77.18,80.81,65.83,66.28,71.28,79.45,78.54,62.20 \\
& 69.01,77.63,74.00,77.18,61.29,72.19,90.35,59.47
\end{aligned}
$$
设 样 本 来 自 正 态 总 体 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均 未 知，试 取 $\alpha=0.05$ 检 验 假 设：
$H_0: \mu=72.64, \quad H_1: \mu \neq 72.64$ 。（取 $\alpha=0.05$ ），此题中 $t_{0.025}(15)=2.1315$