单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0$.
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, $f(0,0)=0, n=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}$ 且非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{d} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{d} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$存在
设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 的收敛半径, $r$ 是实数, 则 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散时, $|r| \geq R$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散时, $|r| \leq R$
$\text{C.}$ $|r| \geq R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散
$\text{D.}$ $|r| \leq R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 发散
若矩阵 $A$ 经初等列变换化成 B, 则（）
$\text{A.}$ 存在矩阵 $P$, 使得 $P A=B$
$\text{B.}$ 存在矩阵 $P$, 使得 $B P=A$
$\text{C.}$ 存在矩阵 $P$, 使得 $P B=A$
$\text{D.}$ 方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解
已知直线 $L_1: \frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{2-c_2}{c_1}$ 与直线 $L_2: \frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}$ 相交于一点, 法向量 $a_i=\left[\begin{array}{l}a_i \\ b_i \\ c_i\end{array}\right], i=1,2,3$. 则
$\text{A.}$ $a_1$ 可由 $a_2, a_3$ 线性表示
$\text{B.}$ $a_2$ 可由 $a_1, a_3$ 线性表示
$\text{C.}$ $a_3$ 可由 $a_1, a_2$ 线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, a_3$ 线性无关
7. 设 $A, B, C$ 为三个随机事件, 且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0$ $P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}$, 则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}, \Phi(x)$ 表 示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left(\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55\right)$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(2)$
$\text{D.}$ $\Phi(2)$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$________.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x, y)=\int_0^{x y} \mathrm{e}^{x x^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$
设 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布, $Y=\sin X$, 则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的最大值
计算曲线积分 $I=\int_L \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} d y$, 其中 $L$ 是 $x^2+y^2=2$, 方向为逆时针方向
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,(n+1) a_n+1=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n$, 证明: 当 $|x| < 1$ 时幂级数 $\sum_{n=1} a_n x^n$ 收敛, 并求其和函数.
设 $\Sigma$ 为曲面 $Z=\sqrt{x^2+y^2}\left(\leq x^2+y^2 \leq 4\right)$ 的下侧, $f(x)$ 是连续函数, 计算 $I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x y-y] d y d z+[y f(x y)+2 y+x] d z d x+[z f(x y)+z] d x d y$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数, $f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in(0,2)}\{|f(x)|\}$, 证明（1）存在 $\xi \in(0,2)$, 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$
（2）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 则 $M=0$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2+4 x_1 x_2+4 x_2^2$ 经正交变换 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2\end{array}\right)$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2\right)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2$, 其中 $a \geq b$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
（2）求正交矩阵 $Q$.
21. 设 $A$ 为 2 阶矩阵, $P=(\alpha, A \alpha)$, 其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向荲.
(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵
(2) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$, 求 $P^{-1} A P$, 并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, 其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均服从标准正态分布, $X_3$ 的概率分布为 $P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2}, Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2$.
（1）求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数, 结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示.
(2) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^n}, & t \geq 0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且大于零.
(1) 求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$, 其中 $s>0, t>0$.
（2）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2 \cdots, t_n$, 若 $m$ 已知, 求 $\theta$ 的 最大似然估计值 $\hat{\theta}$.