2020年考研数学一真题解析

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2020年考研数学一真题解析

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

x \to 0^{+}

时, 下列无穷小阶数最高的是

A.

\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t

B.

\int_{0}^{x} \ln (1 + \sqrt{t^{3}}) d t

C.

\int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} d t

D.

\int_{0}^{1 - \cos x} \sqrt{\sin^{3} t} d t

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2. 设函数

f (x)

在区间

(- 1, 1)

内有定义, 且

lim_{x \to 0} f (x) = 0

, 则 ( )

A.

当

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\sqrt{| x |}} = 0, f (x)

在

x = 0

处可导.

B.

当

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\sqrt{x^{2}}} = 0, f (x)

在

x = 0

处可导.

C.

当

f (x)

在

x = 0

处可导时,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\sqrt{| x |}} = 0

D.

当

f (x)

在

x = 0

处可导时,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\sqrt{x^{2}}} = 0

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3. 设函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微,

f (0, 0) = 0, n = {(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, - 1) |}_{(0, 0)}

且非零向量

d

与

n

垂直，则（）

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| n \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

B.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| n \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| d \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

D.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| d \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

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4. 设

R

为幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

的收敛半径,

r

是实数, 则 ( )

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散时,

| r | \geq R

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散时,

| r | \leq R

C.

| r | \geq R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散

D.

| r | \leq R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散

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5. 若矩阵

A

经初等列变换化成 B, 则（）

A.

存在矩阵

P

, 使得

P A = B

B.

存在矩阵

P

, 使得

B P = A

C.

存在矩阵

P

, 使得

P B = A

D.

方程组

A x = 0

与

B x = 0

同解

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6. 已知直线

L_{1} : \frac{x - a_{2}}{a_{1}} = \frac{y - b_{2}}{b_{1}} = \frac{2 - c_{2}}{c_{1}}

与直线

L_{2} : \frac{x - a_{3}}{a_{2}} = \frac{y - b_{3}}{b_{2}} = \frac{z - c_{3}}{c_{2}}

相交于一点, 法向量

a_{i} = [\begin{array}{l} a_{i} \\ b_{i} \\ c_{i} \end{array}], i = 1, 2, 3

. 则

A.

a_{1}

可由

a_{2}, a_{3}

线性表示

B.

a_{2}

可由

a_{1}, a_{3}

线性表示

C.

a_{3}

可由

a_{1}, a_{2}

线性表示

D.

a_{1}, a_{2}, a_{3}

线性无关

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7. 7. 设

A, B, C

为三个随机事件, 且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}, P (A B) = 0

P (A C) = P (B C) = \frac{1}{12}

, 则

A, B, C

中恰有一个事件发生的概率为

A.

\frac{3}{4}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{5}{12}

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8. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本, 其中

P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2}, Φ (x)

表示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得

P (\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \leq 55)

的近似值为

A.

1 - Φ (1)

B.

Φ (1)

C.

1 - Φ (2)

D.

Φ (2)

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9. 行列式

| \begin{array}{cccc} a & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & a & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & a \end{array} | =

________.

A.

B.

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

10.

lim_{x \to 0} [\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{\ln (1 + x)}] =

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11. 设

{\begin{matrix} x = \sqrt{t^{2} + 1} \\ y = \ln (t + \sqrt{t^{2} + 1}) \end{matrix}

, 则

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 1} =

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12. 若函数

f (x)

满足

f^{''} (x) + a f^{'} (x) + f (x) = 0 (a > 0)

, 且

f (0) = m, f^{'} (0) = n

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

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13. 设函数

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{x x^{2}} d t

, 则

{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} |}_{(1, 1)} =

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14. 设

X

服从区间

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

上的均匀分布,

Y = \sin X

, 则

Cov (X, Y) =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 求函数

f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y

的最大值

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16. 计算曲线积分

I = \int_{L} \frac{4 x - y}{4 x^{2} + y^{2}} d x + \frac{x + y}{4 x^{2} + y^{2}} d y

, 其中

L

是

x^{2} + y^{2} = 2

, 方向为逆时针方向

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17. 设数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1, (n + 1) a_{n} + 1 = (n + \frac{1}{2}) a_{n}

, 证明: 当

| x | < 1

时幂级数

\sum_{n = 1} a_{n} x^{n}

收敛, 并求其和函数.

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18. 设

Σ

为曲面

Z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (\leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

的下侧,

f (x)

是连续函数, 计算

I = \iint_{Σ} [x f (x y) + 2 x y - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y

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19. 设函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上具有连续导数,

f (0) = f (2) = 0, M = max_{x \in (0, 2)} {| f (x) |}

, 证明（1）存在

ξ \in (0, 2)

, 使得

| f^{'} (ξ) | \geq M

（2）若对任意的

x \in (0, 2), | f^{'} (x) | \leq M

, 则

M = 0

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20. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}

经正交变换

(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = Q (\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array})

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}) = a y_{1}^{2} + 4 y_{1} y_{2} + b y_{2}^{2}

, 其中

a \geq b

.
(1) 求

a, b

的值.
（2）求正交矩阵

Q

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21. 21. 设

A

为 2 阶矩阵,

P = (α, A α)

, 其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向荲.
(1) 证明

P

为可逆矩阵
(2) 若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

, 求

P^{- 1} A P

, 并判断

A

是否相似于对角矩阵.

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22. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, X_{3}

相互独立, 其中

X_{1}

与

X_{2}

均服从标准正态分布,

X_{3}

的概率分布为

P {X_{3} = 0} = P {X_{3} = 1} = \frac{1}{2}, Y = X_{3} X_{1} + (1 - X_{3}) X_{2}

.
（1）求二维随机变量

(X_{1}, Y)

的分布函数, 结果用标准正态分布函数

Φ (x)

表示.
(2) 证明随机变量

Y

服从标准正态分布.

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23. 设某种元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = {\begin{array}{cc} 1 - e^{- {(\frac{t}{θ})}^{n}}, & t \geq 0, \\ 0, & 其他. \end{array}

其中

θ, m

为参数且大于零.
(1) 求概率

P {T > t}

与

P {T > s + t ∣ T > s}

, 其中

s > 0, t > 0

.
（2）任取

n

个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为

t_{1}, t_{2} \dots, t_{n}

, 若

m

已知, 求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

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