【ID】2255 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2020年考研数学一真题解析
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,(n+1) a_n+1=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n$, 证明: 当 $|x| < 1$ 时幂级数 $\sum_{n=1} a_n x^n$ 收敛, 并求其和函数.
答案:
证明: 由 $(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n, a_1=1$ 知 $a_n > 0$
则 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1} < 1$, 即 $a_{n+1} < a_n$
故 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减且 $0 < a_n < 1$, 故 $\left|a_n x^n\right| < \left|x^n\right|$
当 $|x| < 1$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$ 绝对收敛, 故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 收敛.

$$
\begin{aligned}
&S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^n \\
&=a_1+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^n \\
&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n x^n \\
&=1+\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \\
&=1+x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}+\frac{1}{2} S(x) \\
&=1+x S^{\prime}(x)+\frac{1}{2} S(x)
\end{aligned}
$$
则 $(1-x) S^{\prime}(x)-\frac{1}{2} S(x)=1$ 即 $S^{\prime}(x)-\frac{1}{2(1-x)} S(x)=\frac{1}{1-x}$
解得 $S(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}(-2 \sqrt{1-x}+c)$
又 $S(0)=0$ 故 $c=2$ 因此 $S(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x}}-2$.

解析:

视频讲解

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