题号:2257    题型:解答题    来源:2020年考研数学一真题解析
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数, $f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in(0,2)}\{|f(x)|\}$, 证明(1)存在 $\xi \in(0,2)$, 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$
(2)若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 则 $M=0$.
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答案:
证明: (1) 由 $M=\max \{|f(x)|\}, x \in[0,2]$ 知存在 $c \in[0,2]$, 使 $|f(c)|=M$,
若 $c \in[0,1]$, 由拉格朗日中值定理得至少存在一点 $\xi \in(0, c)$, 使
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}{c}=\frac{f(c)}{c} \\
&\text { 从而 }\left|f^{\prime}(\xi)\right|=\frac{|f(c)|}{c}=\frac{M}{c} \geq M
\end{aligned}
$$
若 $c \in(1,2]$, 同理存在 $\xi \in(c, 2)$ 使
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}(\xi)=\frac{f(2)-f(c)}{2-c}=\frac{-f(c)}{2-c} \\
&\text { 从而 }\left|f^{\prime}(\xi)\right|=\frac{|f(c)|}{2-c}=\frac{M}{2-c} \geq M
\end{aligned}
$$

综上, 存在 $\xi \in(0,2)$, 使 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$.
(2)若 $M > 0$, 则 $c \neq 0,2$.
由 $f(0)=f(2)=0$ 及罗尔定理知, 存在 $\eta \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\eta)=0$,
当 $\eta \in(0, c]$ 时,
$$
\begin{aligned}
&f(c)-f(0)=\int_0^c f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\
&M=|f(c)|=|f(c)-f(0)| \leq \int_0^c\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x < M c \\
&\text { 又 } f(2)-f(c)=\int_c^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\
&M=|f(c)|=|f(2)-f(c)| \leq \int_c^2\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leq M(2-c)
\end{aligned}
$$
于是 $2 M < M c+M(2-c)=2 M$ 矛盾.
故 $M=0$.

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