题号:2254    题型:解答题    来源:2020年考研数学一真题解析
计算曲线积分 $I=\int_L \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x+y}{4 x^2+y} d y$, 其中 $L$ 是 $x^2+y^2=2$, 方向为逆时针方向
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答案:
解析 :
$$
\text { 设 } P=\frac{4 x-y}{4 x^2+y^2}, Q=\frac{x+y}{4 x^2+y^2}
$$
则 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-4 x^2+y^2-8 x y}{\left(4 x^2+y^2\right)^2}$
取路径 $L \varepsilon: 4 x^2+y^2=\varepsilon^2$, 方向为顺时针方向.
则 $\int_L \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} d y$
$$
\begin{aligned}
&=\int_{L+L s} \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} d y-\int_{L s} \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} d y \\
&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y+\frac{1}{\varepsilon^2} \int_{L_z}(4 x-y) d x+(x+y) d y \\
&=\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_D[1-(-1)] d x d y=\frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 2 S_{D_z}=\frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \frac{\varepsilon^2}{2}=\pi .
\end{aligned}
$$
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