题号:2259    题型:解答题    来源:2020年考研数学一真题解析
21. 设 $A$ 为 2 阶矩阵, $P=(\alpha, A \alpha)$, 其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向荲.
(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵
(2) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$, 求 $P^{-1} A P$, 并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 0 次查看 我来讲解
答案:
21.解析 :
(1) $\alpha \neq 0$ 且 $A \alpha \neq \lambda \alpha$.
故 $\alpha$ 与 $A \alpha$ 线性无关.
则 $r(\alpha, A \alpha)=2$
则 $P$ 可逆.
$$
A P=A(\alpha, A \alpha)=\left(A \alpha, A^2 x\right)=(\alpha A \alpha)\left(\begin{array}{cc}
0 & 6 \\
1 & -1
\end{array}\right)
$$
故 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}0 & 6 \\ 1 & -1\end{array}\right)$.
(2)由 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$
设 $\left(A^2+A-6 E\right) \alpha=0,(A+3 E)(A-2 E) \alpha=0$
由 $\alpha \neq 0$ 得 $\left(A^2+A-6 E\right) x=0$ 有非零解
故 $|(A+3 E)(A-2 E)|=0$
得 $|A+3 E|=0$ 或 $|A-2 E|=0$
若 $|(A+3 E)| \neq 0$ 则有 $(A-2 E) \alpha=0$, 故 $A \alpha=2 \alpha$, 与题意予盾
故 $|A+3 E|=0$, 同理可得 $|A-2 E|=0$.
于是 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-3 \quad \lambda_2=2$.

$A \text { 有 } 2 \text { 个不同特征值, 故 } A \text { 可相似对角化 }$
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭