题号:2253    题型:解答题    来源:2020年考研数学一真题解析
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的最大值
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答案:
解析 :
求一阶导可得
$\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^2-y$ $\frac{\partial f}{\partial y}=24 y^2-x$
今 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{6} \\ y=\frac{1}{12}\end{array}\right.\right.$
求二阶导可得
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6 x \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 y}=-1 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=48 y
$$
当 $x=0, y=0$ 时. $A=0 \cdot B=-1 \cdot C=0$

$A C-B^2 < 0$ 故不是极值.
$$
\begin{aligned}
&\text { 当 } x=\frac{1}{6} y=\frac{1}{12} \text { 时 } \\
&A=1 . B=-1 . C=4 .
\end{aligned}
$$
$A C-B^2 > 0 . A=1 > 0$ 故 $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)$ 是极小值.点
极小值 $f\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)=\left(\frac{1}{6}\right)^3+8\left(\frac{1}{12}\right)^3-6 \times \frac{1}{12}=-\frac{1}{216}$
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