单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知复数 $z$ 满足 $z(1+\mathrm{i})=1-3 \mathrm{i}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的模长为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
已知集合 $M=\left\{x \mid \frac{1}{x-1} < -1\right\}, N=\{x \mid \ln x < 1\}$, 则 $M \cup N=$
$\text{A.}$ $(0,1]$
$\text{B.}$ $(1, \mathrm{e})$
$\text{C.}$ $(0, e)$
$\text{D.}$ $(-\infty, e)$
已知平面向量 $a=(-2,1), c=(2, t)$, 则 “ $t>4$ ” 是 “向量 $a$ 与 $c$ 的夹角为锐角” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 充要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若函数 $f(x)=\sin \left(\omega_X+\phi\right)\left(\omega>0, | \phi| < \frac{\pi}{2} \right) $ 的部分图象如图所示, $A\left(\frac{\pi}{3}, 0\right), B\left(\frac{7 \pi}{12},-1\right)$ ，则 $f(x)$ 的解析式是
$\text{A.}$ $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
$\text{B.}$ $f(x)=\sin \left(x \frac{\pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为 $x, y$, 记 $A$ 事件为 “ $\mathrm{C}_8^x
> \mathrm{C}_8^y$ ”, 则 $P(A)=$
$\text{A.}$ $\frac{11}{36}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{36}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
若直线 $y=a x+b$ 是曲线 $y=\ln x(x>0)$ 的一条切线, 则 $2 a+b$ 的最小值为
$\text{A.}$ $2 \ln 2$
$\text{B.}$ $\ln 2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \ln 2$
$\text{D.}$ $1+\ln 2$
已知抛物线 $C_{:} y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且抛物线 $C$ 过点 $P(1,-2)$, 过点 $F$ 的直线与拋物线 $C$ 交于两点, $A_1, B_1$ 分别为 $A, B$ 两点在抛物线 $C$ 准线上的投影, $M$ 为线段 $A B$ 的中点, $O$ 为坐标原点, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 线段 $A B$ 长度的最小值为 2
$\text{B.}$ $\triangle A_1 F B_1$ 的形状为锐角三角形
$\text{C.}$ $A, O, B_1$ 三点共线
$\text{D.}$ $M$ 的坐标不可能为 $(3,-2)$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n+a_n=1$, 记 $b_m$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 中能使 $a_n \geqslant \frac{1}{2 m+1}\left(m \in \mathbf{N}^*\right)$ 成立的最小项, 则数列 $\left\{b_m\right\}$ 的前 2023 项和为
$\text{A.}$ $2023 \times 2024$
$\text{B.}$ $2^{2024}-1$
$\text{C.}$ $6-\frac{3}{2^7}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{2}-\frac{3}{2^8}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x-1)=f(x+1)$, 则以下说法正确的是
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f(2023)=1$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的一个周期为 2
$\text{D.}$ $f(5)=f(4)+f(3)$
双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$, 左、右顶点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点, 如图, 已知动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 左、右两支分别交于 $P, Q$ 两点, 与其两条渐近线分别交于 $R, S$ 两点, 则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 存在直线 $l$, 使得 $A P / / O R$
$\text{B.}$ $l$ 在运动的过程中, 始终有 $|P R|=|S Q|$
$\text{C.}$ 若直线 $l$ 的方程为 $y=k x+2$, 存在 $k$, 使得 $S_{\triangle C R B}$ 取到最大值
$\text{D.}$ 若直线 $l$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-a), \overrightarrow{R S}=2 \overrightarrow{S B}$, 则双曲线 $C$的离心率为 $\sqrt{3}$
在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=A A_1=2, A D=1, \angle B A D=\angle B A A_1=\angle D A A_1=60^{\circ}$, 动点 $P$ 在直线 $C D_1$ 上运动, 以下四个命题正确的是
$\text{A.}$ $B D \perp A P$
$\text{B.}$ 四棱雉 $P-A B B_1 A_1$ 的体积是定值
$\text{C.}$ 若 $M$ 为 $B C$ 的中点, 则 $\overrightarrow{A_1 \mathrm{~B}}=2 \overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A C_1}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$
已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^x+a\right)-x$, 则下列结论正确的有
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时,方程 $f(x)=0$ 存在实数根
$\text{B.}$ 当 $a \leqslant 0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递减
$\text{C.}$ 当 $a \times 0$ 时,函数 $f(x)$ 有最小值，且最小值在 $x=\ln a$ 处取得
$\text{D.}$ 当 $a>0$ 时，不等式 $f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ 恒成立
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若关于 $x$ 的不等式 $a x^2-2 x+a \leqslant 0$ 在区间 $[0,2]$ 上有解, 则实数 $a$ 的取值范围是
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的等比数列，且满足 $a_3=1, a_1+a_3+a_5=\frac{91}{9}$, 则 $a_4+a_6+a_8=$
如图,若圆台的上、下底面半径分别为 $r_1, r_2$, 且 $r_1 r_2=3$, 则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为
设 $a>0$,已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a \ln (a x+b)-b$, 若 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a_1 b, c$, 已知 $\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}$.
(1)证明: $\cos B=\frac{a}{2 b}$.
(2)求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围.
受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有 $8 \%, 6 \%, 4 \%$的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为 $4: 6: 10$, 现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
(2)若此人感染支原体肺炎病毒, 求他来自甲市的概率.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ 已知 $a_1=3,2 S_n=3 a_n-3$.
(1)证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列;
(2)设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n,}$ 若 $\sum_{k=1}^n \frac{(1-2 k)\left(S_k-2 a_k+\frac{3}{2}\right)}{\log _3 T_k}>\frac{\lambda \bullet a_n}{n+1}$ 对任意 $n \in \mathrm{N}^*$ 恒成立，求整数 $\lambda$ 的最大值.
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 右焦点为 $F$ ，已知 $\overrightarrow{A_1 \mathrm{~F}}=3 \overrightarrow{F A_2}$.
(1)求椭圆的离心率.
(2)已知椭圆右焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0), P$ 是椭圆在第一象限的任意一点，且直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$. 若 $\triangle A_1 P Q$ 的面积与 $\triangle A_2 F P$ 的面积相等,求直线 $A_2 P$ 的斜率.
如图所示,在四棱椎 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $P C D \perp$ 平面 $A B C D$.
(1)证明: $P D \perp$ 平面 $A B C D$.
(2)若 $P D=A D ， M$ 是 $P D$ 的中点， $N$ 在线段 $P C$ 上,求平面 $B M N$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值的取值范围.
已知函数 $f(x)=x \ln x-\frac{1}{2} a x^2(a>0)$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在定义域内为减函数, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2)若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 证明: $x_1 x_2 < \frac{1}{a}$.