高中数学不等式基础训练3

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高中数学不等式基础训练3

一、单选题（共 24 题），每题只有一个选项正确

1. 设

x, y > 1, z > 0

，若

z^{2} = x \cdot y

，则

\frac{1 g z}{21 g x} + \frac{1 g z}{41 g y}

的最小值为（）

A.

\frac{3}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4}

B.

2 \sqrt{2} + \frac{1}{2}

C.

\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{4}

D.

2 \sqrt{2}

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2. 下列选项正确的是（）

A.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ⩾ 2

B.

x + \frac{4}{x} ⩾ 4

C.

\sin^{2} α + \frac{2}{\sin^{2} α}

的最小值为

2 \sqrt{2}

D.

x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 2}

的最小值为

\frac{1}{2}

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3. 若

a > 0, b > 0

，且

a + b = 1

，则下列说法正确的是（）

A.

\frac{1}{a} + \frac{2}{b + 1} ⩾ \frac{3}{2} + \sqrt{2}

B.

a^{2} + b^{2} ⩽ \frac{1}{2}

C.

\frac{3}{a + 1} - b > 2 \sqrt{3} - 2

D.

2 a^{2} + b > \frac{7}{8}

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4. 已知

a > 0, b > 0

，若

\sqrt{2}

是

2^{a}

与

2^{b}

的等比中项，则

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

的最小值是（）

A.

B.

C.

D.

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5. 已知

a > 2

，则

2 a + \frac{8}{a - 2}

的最小值是（）

A.

B.

C.

D.

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6. 设实数

x, y

满足

x + y = 1, y > 0, x > 0

，则

\frac{2}{| x |} + \frac{| x |}{y}

的最小值为

()

A.

2 \sqrt{2} - 2

B.

2 \sqrt{2} + 2

C.

\sqrt{2} - 1

D.

\sqrt{2} + 1

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7. 若

a > 0, b > 1

，且

a^{2} (b + 4 b^{2} + 2 a^{2}) = 8 - 2 b^{3}

，则（）

A.

8 a^{2} + 4 b^{2} + 3 b

的最小值为

8 \sqrt{3}

B.

8 a^{2} + 4 b^{2} + 3 b

的最小值为

8 \sqrt{2}

C.

8 a^{2} + 4 b^{2} + 3 b

的最小值为 16

D.

8 a^{2} + 4 b^{2} + 3 b

没有最小值

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8. 已知

a > 1

，则

a + \frac{16}{a - 1}

的最小值为（）

A.

B.

C.

D.

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9. 《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点

F

在半圆

O

上，且

O F ⊥ A B

，点

C

在直径

A B

上运动．作

C D ⊥ A B

交半圆

O

于点

D

．设

A C = a

，

B C = b

，则由

F C ⩾ C D

可以直接证明的不等式为

A.

\frac{a + b}{2} ⩾ \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)

B.

a^{2} + b^{2} ⩾ 2 a b (a > 0, b > 0)

C.

\frac{2 a b}{a + b} ⩽ \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > 0, b > 0)

D.

\sqrt{a b} ⩽ \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > 0, b > 0)

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10. 已知

a, b

均为正数，且

\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b - 2} = \frac{1}{2}

，则

2 a + b

的最小值为（）

A.

B.

C.

D.

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11. 若实数

x, y

满足

x^{2} + 4 y^{2} - x y = 3

，则（）成立．

A.

x y ⩾ 1

B.

x^{2} + 4 y^{2} ⩽ 4

C.

x + 2 y ⩾ - \sqrt{2}

D.

x + 2 y ⩽ \sqrt{2}

．

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12. 如图，在

△ A B C

中，

M

为线段

B C

的中点，

G

为线段

A M

上一点且

\vec{A G} = 2 \vec{G M}

，过点

G

的直线分别交直线

A B, A C

于

P, Q

两点，

\vec{A B} = x \vec{A P} (x > 0), \vec{A C} = y \vec{A Q} (y > 0)

，则

\frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1}

的最小值为

A.

\frac{3}{4}

B.

C.

\frac{4}{3}

D.

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13. 已知

a > 0, b > 0, 9

是

3^{a}

与

27^{b}

的等比中项，则

\frac{a^{2} + 2}{a} + \frac{3 b^{2} + 1}{b}

的最小值为（）

A.

9 + 2 \sqrt{6}

B.

\frac{21 + 2 \sqrt{6}}{4}

C.

D.

\frac{14 + 2 \sqrt{6}}{3}

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14. 若集合

A = {x | \frac{x + 1}{x - 2} ⩽ 0}, B = {x ∣ \log_{2} x ⩽ 1}

，则

A \cap B =

A.

[- 1, 2]

B.

(- 1, 2)

C.

[0, 2]

D.

(0, 2)

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15. 在

R

上定义运算

\otimes : x \otimes y = \frac{x}{2 - y}

，若关于

x

的不等式

(x - a) \otimes (x - 1 - a) ⩾ 0

的解集是集合

{x ∣ - 2 < x ⩽ 4}

的子集，则实数

a

的取值范围为（）

A.

- 2 < a < 1

B.

- 2 ⩽ a < 1

C.

- 2 < a ⩽ 1

D.

- 2 ⩽ a ⩽ 1

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16. 设

x \in R

，则＂

\log_{2} x < 1

＂是＂

x^{2} + x - 6 < 0

＂的（）

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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17. 已知

\log_{a} \frac{1}{4} < 1, {(\frac{1}{3})}^{a} < 1, a^{\frac{1}{2}} < 1

，则实数

a

的取值范围为

A.

(\frac{1}{3}, 1)

B.

(0, \frac{1}{4}) \cup (1, + \infty)

C.

(\frac{1}{4}, 1)

D.

(0, \frac{1}{4})

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18. 已知函数

f (x) = \log_{2} (x + 1) - x

，则不等式

f (x) > 0

的解集是（）

A.

(1, + \infty)

B.

(0, + \infty)

C.

(0, 1)

D.

(- 1, 0) \cup (1, + \infty)

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19. 已知函数

f (x) = \log_{2} x - (x - 1)^{2}

，则不等式

f (x) < 0

的解集为

()

A.

(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)

B.

(0, 1) \cup (2, + \infty)

C.

(1, 2)

D.

(1, + \infty)

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20. 已知函数

f (x) = \log_{2} x - \frac{3}{x + 1}

，则不等式

f (x) > 0

的解集是

()

A.

(- 1, 2)

B.

(0, 2)

C.

(2, + \infty)

D.

(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2)

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21. 已知二次函数

f (x)

，对任意的

x \in R

，有

f (2 x) < 2 f (x)

，则

f (x)

的图象可能是

A.

B.

C.

D.

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22. 不等式

(x - 1) (x - 4) ⩾ 0

的解集是（）

A.

{x ∣ x > 4

或

x < 1}

B.

{x ∣ 1 < x < 4}

C.

{x ∣ 1 ⩽ x ⩽ 4}

D.

{x ∣ x ⩾ 4

或

x ⩽ 1}

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23. 已知集合

A = {x ∣ 2 < x < 4}, B = {x ∣ (x - 6) (x - 3) ⩾ 0}

，则（）

A.

2 \in A \cap B

B.

3 \in A \cap B

C.

4 \in A \cup B

D.

5 \in A \cup B

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24. 设

x_{1}, x_{2}

是关于

x

的方程

x^{2} + (a - 1) x + a + 2 = 0

的根．若

- 1 < x_{1} <

1, 1 < x_{2} < 2

，则实数

a

的取值范围是（）

A.

(- \frac{4}{3}, - 1)

B.

(- \frac{3}{4}, \frac{1}{2})

C.

(- 2, 1)

D.

(- 2, - 1)

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二、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

25. 已知

m + 2 n = 2

，且

m > - 1, n > 0

．
（1）求

\frac{1}{m + 1} + \frac{2}{n}

的最小值；
（2）求

\frac{m^{2}}{2 n + 2} + \frac{4 n^{2}}{m + 1}

的最小值．

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26. 已知

a, b, c

为正实数且

a + 2 b + 3 c = 5

．
（1）求

a^{2} + b^{2} + c^{2}

的最小值；
（2）当

\sqrt{2 a b} + \sqrt{3 a c} + \sqrt{6 b c} ⩾ 5

时，求

a + b + c

的值．

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