如图，在 $\triangle A B C$ 中，$M$ 为线段 $B C$ 的中点，$G$ 为线段 $A M$ 上一点且 $\overrightarrow{ AG }=2 \overrightarrow{ GM }$ ，过点 $G$ 的直线分别交直线 $A B, ~ A C$ 于 $P, ~ Q$ 两点， $\overrightarrow{ AB }= x \overrightarrow{ AP }( x >0), \overrightarrow{ AC }= y \overrightarrow{ AQ }( y >0)$ ，则 $\frac{1}{ x }+\frac{1}{ y +1}$的最小值为