一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>1$
$\text{B.}$ $1>I_1>I_2$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>1$
$\text{D.}$ $1>I_2>I_1$
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量
$$
\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t ，
$$
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ "表示" $M$ 的充分必要条件是 $N$ "，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
设 $I_1=\iint_D \cos \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma ， I_2=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$ ， $I_3=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right)^2 \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$.
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_3>I_1>I_2$.
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=\frac{5}{4} F(2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数)，过第 2 象限内的点 $M$ 和第 4 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是
$\text{A.}$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$
$\text{D.}$ $\int_{\Gamma} f_x^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_y^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$
设某商品的需求函数为 $Q=160-2 P$ ，其中 $Q, P$ 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1 ，则商品的价格是
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 20
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 40
如图，曲线方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续导数，则定积分 $\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示
$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 面积
$\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 面积
如图所示，正方形 $\{(x, y) \| x|\leq 1| y \mid, \leq 1\}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_k(k=1,2,3,4) ， I_k=\iint_{D_k} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $\max _{1 \leq k \leq 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$
$\text{B.}$ $I_2$
$\text{C.}$ $I_3$
$\text{D.}$ $I_4$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设商品的需求函数为 $Q=100-5 P$ ，其中 $Q, P$ 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1 ，则商品价格的取值范围是
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^3+\sin ^2 x\right) \cos ^2 x \mathrm{~d} x=$
某公司每年的工资总额比上一年增加 $20 \%$ 的基础上再追加 2 百万. 若以 $W_t$ 表示第 $t$ 年的工资总额（单位：百万元），则 $W_t$ 满足的差分方程是 $\qquad$
位于曲线 $y=x e^{-x}(0 \leq x < +\infty)$ 下方， $x$ 轴上方的无界图形的面积是
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则
$$
\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=
$$
$\int_{-1}^1(|x|+x) e^{-|x|} \mathbf{d} x=$
三、解答题 （ 共 24 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设位于点 $(0,1)$ 的质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力大小为 $\frac{k}{r^{2}}(k>0$ 为常数, $r$ 为质点 $A$ 与 $M$ 之间的距离 $)$, 质点 $M$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 自 $B(2,0)$ 运动到 $O(0,0)$, 求在此运动过程中质点 $A$ 对质点 $M$ 的引 力所作的功.
已知某商品的需求量 $D$ 和供给量 $S$ 都是价格 $p$ 的函数:
$$
D=D(p)=\frac{a}{p^2}, S=S(p)=b p ，
$$
其中 $a>0$ 和 $b>0$ 是常数. 价格 $p$ 是时间 $t$ 的函数，且满足方程 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t}=k[D(p)-S(p)],(k$ 是常数 $)$ ，假设当 $t=0$ 时价格为 1 . 试求:
(1) 需求量等于供给量时的均衡价格 $P_e$;
(2) 价格函数 $p(t)$ ；
(3) 极限 $\lim _{t \rightarrow \infty} p(t)$.
求八分之一球面 $x^2+y^2+z^2=R^2, x \geq 0, y \geq 0$, $z \geq 0$ 的边界曲线的重心，设曲线的线密度 $\rho=1$
已知某厂生产 $x$ 件产品的成本为 $C=25000+200 x+\frac{1}{40} x^2$
问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?
(2) 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?
设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$ ，收益函数为 $R=P Q$ ，其中 $P$ 为产品价格， $Q$ 为需求量 (产品的产量)， $Q(P)$ 是单调减函数. 如果当价格为 $P_0$ ，对应产是为 $Q_0$ 时
边际收益 $\left.\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} Q}\right|_{Q=Q_0}=a>0$ ，收益对价格的边际效应 $\left.\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}\right|_{P=P_0}=c < 0$ ，需求对价格的弹性为 $E_P=b>1$ ，求 $P_0$ 和 $Q_0$.
在经济学中，称函数 $Q(x)=A\left[\delta K^{-x}+(1-\delta) L^{-x}\right]^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数 $\bar{Q}=A K^\delta L^{1-\delta}$ 为 Cobb-Douglas 生产函数 (简称 $C-D$ 生产函数)，试证明:当 $x \rightarrow 0$ 时，固定替代弹性生产函数变为 $C-D$ 生产函数，即有 $\lim _{x \rightarrow 0} Q(x)=\bar{Q}$.
假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $p$ (单位:元)的函数： $Q=12000-80 p$ ，商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数： $C=25000+50 Q$ ，每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 $y$ (从海平面算起)与下沉速度 $v$ 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为 $m$, 体积为 $B$ ，海水比重为 $\rho$ ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 $k(k>0)$. 试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程，并求出函数关系式 $y=y(v)$
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 $y$ (从海平面算起)与下沉速度 $v$ 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为 $m$ ，体积为 $B$ ，海水比重为 $\rho$ ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 $k(k>0)$. 试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程，并求出函数关系式 $y=y(v)$.
设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 $t=0$ )就售出，总收入为 $R_0$ (元)，如果害藏起来待来日按陈酒价格出售， $t$ 年末总收入为 $R=R_0 e^{\frac{2}{5} \sqrt{t}}$. 假定银行的年利率为 $r$ ，并以连续复利计息，试求害藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 $r=0.06$ 时的 $t$ 值.
一商店经销某种商品，每周进货的数量 $X$ 与顾客对该种商品的需求量 $Y$ 是相互独立的随机变量，且都服从区间 $[10,20]$上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润 1000 元; 若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 500 元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口 (见图)，已知井深 $30 \mathrm{~m}$ ，抓斗自重 $400 \mathrm{~N}$ ，缆绳每米 $50 \mathrm{~N}$ ，抓斗抓起的污泥重 $2000 \mathrm{~N}$ ，提升速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在提升的过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?
明：(1) $1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J} ; \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{s}, \mathrm{J}$ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）.
设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，且当 $x \geq 0$ 时，
$$
f(x) F(x)=\frac{x e^x}{2(1+x)^2},
$$
已知 $F(0)=1, F(x)>0$ ，试求 $f(x)$.
(1) 已知 $f(x)$ 连续， $\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
(2) 设 $f(x)$ 连续，且 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ ，已知 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty]$ 上可导， $f(0)=1$ ，且满足等式
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{x+1} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=0
$$
(1) 求导数 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 证明：当 $x \geq 0$ 时，不等式 $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$ 成立.
某商品进价为 $a$ (元/件)，根据以往经验，当销售价为 $b$ (元/件) 时，销售量为 $c$ 件 $\left(a, b, c\right.$ 均为正常数，且 $\left.b \geq \frac{4}{3} a\right)$.市场调查表明，销售价每下降 $10 \%$ ，销售量可增加 $40 \%$ ，现决定一次性降价，试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润.
某闸门的形状与大小如下图所示，其中直线 $l$ 为对称轴，闸门的上部为矩形 $A B C D$ ，下部由二次抛物线与线段 $A B$ 所围成. 当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 $5: 4$, 闸门矩形部分的高 $h$ 应为多少米?
设某商品从时刻 0 到时刻 $t$ 的销售量为
$$
x(t)=k t, t \in[0, T],(k>0) .
$$
欲在 $T$ 时将数量为 $A$ 的该商品销售完，试求
(1) $t$ 时的商品剩余量，并确定 $k$ 的值;
(2) 在时间段 $[0, T]$ 上的平均剩余量.
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
设某商品的需求函数为 $Q=100-5 P$ ，其中价格 $P \in(0,20) ， Q$ 为需求量.
(1) 求需求量对价格的弹性 $E_{\mathrm{d}}\left(E_{\mathrm{d}}>0\right)$ ；
(2) 推导 $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}=Q\left(1-E_{\mathrm{d}}\right)$ (其中 $R$ 为收益)，并用弹性 $E_{\mathrm{d}}$ 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ 求 $f(x, y)$ 在椭圆域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}
$$
上的最大值和最小值.
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设银行存款的年利率为 $r=0.05$ ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 $A$ 万元，实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元， $\ldots$ 、第 $n$ 年提取 $(10+9 n)$ 万元，并能按此规律一直提取下去，问 $A$ 至少应为多少万元?
设某企业生产线上的产品合格率为 0.96 ，不合格产品中只有 $\frac{3}{4}$ 产品可以进行再加工，且再加工合格率为 0.8 ，其余均为废品. 每件合格品获利 80 元，每件废品亏损 20 元. 为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元，问企业每天至少应该生产多少件产品?