一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，又 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{x-a}=-1$ ，则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ (a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=a$ 不是 $f(x)$ 的极值点， $(a, f(a))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如下图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$ ，使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
当 $a$ 取下列哪个值时，函数 $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-a$恰好有两个不同的零点
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设某商品的需求函数为 $Q=160-2 P$ ，其中 $Q, P$ 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1 ，则商品的价格是
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 20
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 40
设函数 $f(x)=\int_0^{x^2} \ln (2+t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=x^2(x-1)(x-2)$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $y=\arctan x$ 在横坐标为 1 的点处的切线方程是 $\qquad$ ，法线方程是 $\qquad$
曲线 $y=x+\sin ^2 x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1+\frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线方程是
已知曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 且其上任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $x \ln \left(1+x^2\right)$, 则 $f(x)=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=t^3\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处的切线方程为
曲线 $y=x \ln \left(e+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=e^t \sin 2 t \\ y=e^t \cos t\end{array}\right.$ 在点 $(0,1)$ 处的法线方程为
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $e^{2 x+y}-\cos (x y)=e-1$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的法线方程为
过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime} \arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程为
某公司每年的工资总额比上一年增加 $20 \%$ 的基础上再追加 2 百万. 若以 $W_t$ 表示第 $t$ 年的工资总额（单位：百万元），则 $W_t$ 满足的差分方程是 $\qquad$
曲面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $2 x+4 y-z=0$ 平行的切平面的方程是
曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=1$ 垂直的切线方程为
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为
三、解答题 （ 共 23 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 的全长, 其中 $a>0$ 是常数.
已知函数 $y=\frac{2 x^2}{(1-x)^2}$ ，试求其单调区间，极值点，图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数图形.
给定曲线 $y=\frac{1}{x^2}$ ，
(1) 求曲线在横坐标为 $x_0$ 的点处的切线方程;
(2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
运用导数的知识作函数 $y=(x+6) e^{\frac{1}{x}}$ 的图形.
设 $y=\frac{x^3+4}{x^2}$.
（1）求函数的增减区间及极值;
（2）函数图像的凹凸区间及拐点;
（3）求其渐近线;
（4）作出其图形.
如图，设曲线 $L$ 的方程为 $y=f(x)$ ，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，又 $M T 、 M P$ 分别为该曲线在点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线和法线，已知线段 $M P$ 的长度为 $\frac{\left[1+\left(y_0^{\prime}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{y_0^{\prime \prime}}$ (其中， $y_0^{\prime}=y^{\prime}\left(x_0\right)$, $\left.y_0^{\prime \prime}=y^{\prime \prime}\left(x_0\right)\right)$ ，试推导出点 $P(\xi, \eta)$ 的坐标表达式.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 所确定，试求 $y=y(x)$ 的驻点，并判别它是否为极值点.
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口 (见图)，已知井深 $30 \mathrm{~m}$ ，抓斗自重 $400 \mathrm{~N}$ ，缆绳每米 $50 \mathrm{~N}$ ，抓斗抓起的污泥重 $2000 \mathrm{~N}$ ，提升速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在提升的过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?
明：(1) $1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J} ; \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{s}, \mathrm{J}$ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）.
已知函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ ，求:
（1）函数的增减区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点;
（3） 函数图形的渐进线.
求函数 $y=(x-1) e^{\frac{\pi}{2}+\arctan x}$ 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.
某商品进价为 $a$ (元/件)，根据以往经验，当销售价为 $b$ (元/件) 时，销售量为 $c$ 件 $\left(a, b, c\right.$ 均为正常数，且 $\left.b \geq \frac{4}{3} a\right)$.市场调查表明，销售价每下降 $10 \%$ ，销售量可增加 $40 \%$ ，现决定一次性降价，试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润.
已知两曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\int_0^{\arctan x} e^{-t^2} \mathrm{dt}$ 在点 $(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)$.
某闸门的形状与大小如下图所示，其中直线 $l$ 为对称轴，闸门的上部为矩形 $A B C D$ ，下部由二次抛物线与线段 $A B$ 所围成. 当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 $5: 4$, 闸门矩形部分的高 $h$ 应为多少米?
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x y+2 \ln x=y^4$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是
设某商品从时刻 0 到时刻 $t$ 的销售量为
$$
x(t)=k t, t \in[0, T],(k>0) .
$$
欲在 $T$ 时将数量为 $A$ 的该商品销售完，试求
(1) $t$ 时的商品剩余量，并确定 $k$ 的值;
(2) 在时间段 $[0, T]$ 上的平均剩余量.
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
设某商品的需求函数为 $Q=100-5 P$ ，其中价格 $P \in(0,20) ， Q$ 为需求量.
(1) 求需求量对价格的弹性 $E_{\mathrm{d}}\left(E_{\mathrm{d}}>0\right)$ ；
(2) 推导 $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}=Q\left(1-E_{\mathrm{d}}\right)$ (其中 $R$ 为收益)，并用弹性 $E_{\mathrm{d}}$ 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ 求 $f(x, y)$ 在椭圆域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}
$$
上的最大值和最小值.
已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+1 \\ y=4 t-t^2\end{array} \quad(t \geq 0)\right.$.
(1) 讨论 $L$ 的凹凸性;
(2) 过点 $(-1,0) $引$ L$ 的切线，求切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，并写出切线的方程；
(3) 求此切线与 $L$ (对应于 $x \leq x_0$ 的部分) 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积.