单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
当 $a$ 取下列哪个值时，函数 $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-a$恰好有两个不同的零点
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都收敛
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都发散
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散
设 $I_1=\iint_D \cos \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma ， I_2=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$ ， $I_3=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right)^2 \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$.
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_3>I_1>I_2$.
设 $a_n>0, n=1,2, \cdots$, 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散， $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$收敛，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}$ 发散
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$ 收敛
设 $f(x)=x \sin x+\cos x$ ， 下列命题中正确的是
$\text{A.}$ $f(0)$ 是极大值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是极小值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值
$\text{C.}$ $f(0)$ 是极大值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极大值
$\text{D.}$ $f(0)$ 是极小值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极小值
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $B=E+A B, C=A+C A$ 则 $B-C$ 等于
$\text{A.}$ $E$
$\text{B.}$ $-E$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $-A$
以下四个命题中，正确的是
$\text{A.}$ 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $A^*=A^T$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵， $A^T$ 为 $A$ 的转置矩阵. 若 $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $a_{11}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$
设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\overline{\boldsymbol{x}}=\mathbf{2 0}(\mathrm{cm})$ ，样本标准差 $s=1(\mathrm{~cm})$ ，则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n \cdots$ 为独立同分布的随机变量，且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$ 的指数分布，记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{2 x}{x^2+1}=$
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足初始条件 $y(1)=2$ 的特解为
设二元函数 $z=x e^{x+y}+(x+1) \ln (1+y)$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$
设行向量组 $(2,1,1,1) ，(2,1, a, a) ，(3,2,1, a) ，(4,3,2,1)$线性相关，且 $a \neq 1$ ，则 $a=$
从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1,2, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 Y ，则 $P\{Y=2\}=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
已知随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则 $a=$ $\qquad$ $b=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right)$.
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $g(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，求 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$.
求 $f(x, y)=x^2-y^2+2$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的导数连续，且 $f(0)=0$ ， $f^{\prime}(x) \geq 0 ， g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明：对任何 $a \in[0,1]$ ，有
$$
\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1) .
$$
已知齐次线性方程组
( I ) $\left\{\begin{array}{c}x_1+2 x_2+3 x_3=0, \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3=0, \\ x_1+x_2+a x_3=0\end{array}\right.$
(ㅍ) $\left\{\begin{array}{c}x_1+b x_2+c x_3=0, \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0\end{array}\right.$
同解，求 $a, b, c$ 的值.
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是线性无关的三维列向量，
且满足 $A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, A \alpha_2=2 \alpha_2+\alpha_3$,
$A \alpha_3=2 \alpha_2+3 \alpha_3$.
(1) 求矩阵 $B$ ，使得 $A\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) B$;
(2) 求矩阵 $A$ 的特征值;
(3) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵.
设 $D=\left[\begin{array}{cc}A & C \\ C^T & B\end{array}\right]$ 为正定矩阵，其中 $A, B$ 分别为 $m$ 阶， $n$ 阶对称矩阵， $C$ 为 $m \times n$ 矩阵.
(I) 计算 $\boldsymbol{P}^T D \boldsymbol{P}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc}E_m & -A^{-1} C \\ O & E_n\end{array}\right]$;
(ㅍ) 利用 (I) 的结果判断矩阵 $B-C^T \boldsymbol{A}^{-1} C$ 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
求: ( I ) $(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ；
() $Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
(II) $P\left\{\left.Y \leq \frac{1}{2} \right\rvert\, X \leq \frac{1}{2}\right\}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2)$ 为来自总体 $\mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，记 $Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2, \cdots, n$. 求:
( I ) $Y_i$ 的方差 $D Y_i, i=1,2, \cdots, n$ ；
(II) $Y_1$ 与 $Y_n$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_1, Y_n\right)$.
(II) 若 $c\left(Y_1+Y_n\right)^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，求常数 $c$.
(IV) 当 $\sigma=1$ ，求 $P\left\{Y_1+Y_n \leq 0\right\}$.