2024届高三八校联盟（T8）联考数学试题

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2024届高三八校联盟（T8）联考数学试题

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ \log_{2} x < 1}, B = {y ∣ y = 2^{x}}

, 则

A.

A \cap B = \emptyset

B.

A \cap B = A

C.

A \cup B = R

D.

A \cup B = A

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2. 已知复数

z

满足

(z + 2) i = 2 z - 1

, 则复数

\bar{z} =

A.

i

B.

- i

C.

\sqrt{5} i

D.

- \sqrt{5} i

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3. 已知

{a_{n}}

为等差数列,

m, n, p, q \in N^{*}

, 则 “

m + n = p + q

” 是 “

a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 直线

x - y - 1 = 0

将圆

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 8

分成两段, 这两段圆弧的弧长之比为

A.

1 : 2

B.

1 : 3

C.

1 : 5

D.

3 : 5

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5. 设

F

为抛物线

y^{2} = 2 x

的焦点,

A, B, C

为抛物线上的三个点, 若

\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = 0

, 则

| \vec{F A} | + | \vec{F B} | + | \vec{F C} | =

A.

B.

C.

D.

\frac{3}{2}

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6. 秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期, 为了解该疾病的发病情况, 疾控部门对该地区居民进行普查化验, 化验结果阳性率为

1.97 %

,但统计分析结果显示患病率为

1 %

. 医学研究表明化验结果是有可能存在误差的,没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01 ,则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为

A.

0.96

B.

0.97

C.

0.98

D.

0.99

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7. 已知正数

a, b, c

满足

a e^{a} = b \ln b = e^{c} \ln c = 1

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

c < a < b

B.

c < b < a

C.

a < b < c

D.

a < c < b

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8. 一只蜜蜂从蜂房

A

出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图), 例如: 从蜂房

A

只能爬到 1 号或 2 号蜂房, 从 1 号蜂房只能爬到 2 号或 3 号蜂房……以此类推,用

a_{n}

表示蜜蜂爬到

n

号蜂房的方法数, 则

a_{2022} a_{2024} - a_{2023}^{2} =

A.

B.

-1

C.

D.

-2

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 小明上学有时坐公交车, 有时骑自行车, 他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间, 10 次坐公交车所花的时间分别为

7, 11, 8, 12, 8, 13, 6, 13, 7, 15

(单位:

\min

), 10 次骑自行车所花时间的均值为

15 \min

, 方差为 1 . 已知坐公交车所花时间

X

与骑自行车所花时间

Y

都服从正态分布,用样本均值和样本方差估计

X, Y

分布中的参数,并利用信息技术工具画出

X

和

Y

的分布密度曲线如图所示. 若小明每天需在早上 8 点之前到校, 否则就迟到, 则下列判断正确的是

A.

坐公交车所花时间的均值为 10 ,方差为 3

B.

若小明早上

7 : 50

之后出发, 并选择坐公交车, 则有

50 %

以上的可能性会迟到

C.

若小明早上

7 : 42

出发,则应选择骑自行车

D.

若小明早上

7 : 47

出发,则应选择坐公交车

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10. 如图, 在四边形

A B C D

中,

∠ D A B = 60^{\circ}, ∠ D C B = 120^{\circ}, A B = 2, B C = \sqrt{2}, \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2

,则下列结果正确的是

A.

∠ A B C = 45^{\circ}

B.

A C = \sqrt{3}

C.

B D = \sqrt{3}

D.

△ A D C

的面积为

\frac{\sqrt{3} - 1}{4}

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11. 已知函数

f (x)

的定义域为

R

, 则下面判断正确的是

A.

若

\forall x \in R, f (x + 1) > f (x)

, 则函数

f (x)

在

R

上是增函数

B.

若

\forall x_{1}, x_{2} \in R, | f (x_{1}) + f (x_{2}) | ⩽ | \sin x_{1} + \sin x_{2} |

, 则函数

f (x)

是奇函数

C.

若

\forall x_{1}, x_{2} \in R, | f (x_{1}) - f (x_{2}) | ⩽ | \sin x_{1} - \sin x_{2} |

, 则函数

f (x)

是周期函数

D.

若

\forall x_{1}, x_{2} \in (- 1, 1)

且

x_{1} \neq x_{2}, | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | \sin x_{1} - \sin x_{2} |

, 则函数

f (x) +

\sin x

在区间

(- 1, 1)

上单调递增,函数

f (x) - \sin x

在区间

(- 1, 1)

上单调递减

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12. 如图, 已知正三棱台

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

的上、下底面边长分别为 2 和 6 , 侧棱长为 4 , 点

P

在侧面

B C C_{1} B_{1}

内运动 (包含边界), 且

A P

与平面

B C C_{1} B_{1}

所成角的正切值为

2 \sqrt{2}

, 点

Q

为

C C_{1}

上一点, 且

\vec{C Q} = 3 \vec{Q C_{1}}

, 则下列结论中正确的有

A.

正三棱台

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

的高为

2 \sqrt{6}

B.

点

P

的轨迹长度为

\sqrt{3} π

C.

高为

\frac{4 \sqrt{6}}{3}

, 底面半径为

\frac{\sqrt{3}}{6}

的圆柱可以放进棱台内

D.

过点

A, B, Q

的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为

\frac{3}{2} π

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知单位向量

a, b

的夹角为

60^{\circ}, c = t a + (1 - t) b

, 若

b \cdot c = 0

, 则

t =

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14. 已知

(1 + x)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}

, 则

a_{5} + 2 a_{4} + 4 a_{3} + 8 a_{2} + 16 a_{1} + 32 a_{0} =

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15. 三棱椎

P - A B C

的每一个面都是边长为 1 的正三角形, 以它的高

P H

所在直线为旋转轴, 将其旋转

60^{\circ}

得到三棱雉

P - A^{'} B^{'} C^{'}

, 则两个三棱雉公共区域的体积为

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16. 已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 若过点

F_{2}

的直线与双曲线的左、右两支分别交于

A, B

两点, 且

A F_{1} = B F_{1} = 2 \sqrt{5}

. 又以双曲线的顶点为圆心, 半径为

2 \sqrt{2}

的圆恰好经过双曲线虚轴的端点, 则双曲线的离心率为

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)

及其导函数的图象如图所示.
(1) 求函数

f (x)

的解析式;
(2) 若函数

f (x)

在区间

(0, m)

上恰有 2 个极值点和 2 个零点, 求实数

m

的取值范围.

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18. 如图, 直四棱柱

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的底面为菱形,

A B = A C = 2, A A_{1} = 2 \sqrt{3}

.
(1) 证明: 平面

A_{1} C_{1} B ⊥

平面

B D D_{1} B_{1}

;
(2) 求直线

D C_{1}

与平面

A_{1} C_{1} B

所成角的正弦值.

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19. 为应对全球气候变化, 我国制定了碳减排的国家战略目标, 采取了一系列政策措施积极推进碳减排, 作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑, 节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点. 某公司为了解员工对相关政策的了解程度,随机抽取了 180 名员工进行调查,得到如下表的数据：

(1) 补充表格, 并根据小概率值

α = 0.025

的独立性检验, 分析了解程度与性别是否有关?
(2) 用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取 12 人, 再从这 12 人中随机抽取 6 人,用随机变量

X

表示这 6 人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值, 求

X

的分布列和数学期望.
附表及公式:

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20. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F

, 点

P

是椭圆与

x

轴正半轴的交点, 点

Q

是椭圆与

y

轴正半轴的交点, 且

| F Q | = \sqrt{2}, | P F | = \sqrt{2} - 1

. 直线

l

过圆

O : x^{2} + y^{2} = 1

的圆心, 并与椭圆相交于

A, B

两点, 过点

A

作圆

O

的一条切线, 与椭圆的另一个交点为

C

,且.

S_{△ A B C} = \frac{4}{3}

.
(1) 求椭圆的方程;
(2)求直线

A C

的斜率.

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21. 已知数列

{a_{n}}

为等差数列, 公差

d > 0

, 等比数列

{b_{n}}

满足:

b_{1} = 2 a_{1} = 2, b_{2} = a_{1} + a_{3}

b_{1} b_{3} = 5 a_{3} + 1

.
(1) 求数列

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;
(2) 若将数列

{a_{n}}

中的所有项按原顺序依次插人数列

⟨ b_{n}}

中, 组成一个新数列:

b_{1}, a_{1}, b_{2}

a_{2}, a_{3}, b_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, b_{4}, \dots

, 在

b_{k}

与

b_{k + 1}

之间插人

2^{k - 1}

项

{a_{n}}

中的项, 新数列中

b_{n + 1}

之前 (不包括

b_{n + 1}

) 所有项的和记为

T_{n}

, 若

d_{n} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n + 1}} (\frac{2^{n - 1}}{T_{n} + 2} + 2)

, 求使得

[d_{1}] +

[d_{2}] + [d_{3}] + \dots + [d_{n}] ⩽ 2023

成立的最大正整数

n

的值. (其中符号

[x]

表示不超过

x

的最大整数)

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22. 已知函数

f (x) = 3 a - x - (x + 1) \ln (x + 1), g (x) = a^{2} e^{x} + \frac{1}{2} (2 - a) x^{2} - 3 a x (x > - 1)

1 ⩽ a ⩽ 6, g (x)

的导函数记为

g^{'} (x)

e

为自然对数的底数, 约为 2.718 .
(1) 判断函数

f (x)

的零点个数;
(2) 设

x_{1}

是函数

f (x)

的一个零点,

x_{2}

是函数

g (x)

的一个极值点, 证明:
(1)

- 1 < x_{2} < 1 < x_{1}

;
(2)

f (x_{2}) < g^{'} (x_{1})

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