单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid \log _2 x < 1\right\}, B=\left\{y \mid y=2^x\right\}$, 则
$\text{A.}$ $A \cap B=\varnothing$
$\text{B.}$ $A \cap B=A$
$\text{C.}$ $A \cup B=\mathbf{R}$
$\text{D.}$ $A \cup B=A$
已知复数 $z$ 满足 $(z+2) \mathrm{i}=2 z-1$, 则复数 $\bar{z}=$
$\text{A.}$ $i$
$\text{B.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\sqrt{5} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\sqrt{5} \mathrm{i}$
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, $m, n, p, q \in \mathbf{N}^*$, 则 “ $m+n=p+q$ ” 是 “ $a_m+a_n=a_p+a_q$ ”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
直线 $x-y-1=0$ 将圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=8$ 分成两段, 这两段圆弧的弧长之比为
$\text{A.}$ $1: 2$
$\text{B.}$ $1: 3$
$\text{C.}$ $1: 5$
$\text{D.}$ $3: 5$
设 $F$ 为抛物线 $y^2=2 x$ 的焦点, $A, B, C$ 为抛物线上的三个点, 若 $\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\mathbf{0}$, 则 $|\overrightarrow{F A}|+|\overrightarrow{F B}|+|\overrightarrow{F C}|=$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期, 为了解该疾病的发病情况, 疾控部门对该地区居民进行普查化验, 化验结果阳性率为 $1.97 \%$,但统计分析结果显示患病率为 $1 \%$. 医学研究表明化验结果是有可能存在误差的,没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01 ,则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为
$\text{A.}$ 0.96
$\text{B.}$ 0.97
$\text{C.}$ 0.98
$\text{D.}$ 0.99
已知正数 $a, b, c$ 满足 $a \mathrm{e}^a=b \ln b=\mathrm{e}^c \ln c=1$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $c < a < b$
$\text{B.}$ $c < b < a$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $a < c < b$
一只蜜蜂从蜂房 $A$ 出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图), 例如: 从蜂房 $A$ 只能爬到 1 号或 2 号蜂房, 从 1 号蜂房只能爬到 2 号或 3 号蜂房……以此类推,用 $a_n$表示蜜蜂爬到 $n$ 号蜂房的方法数, 则 $a_{2022} a_{2024}-a_{2023}^2=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
小明上学有时坐公交车, 有时骑自行车, 他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间, 10 次坐公交车所花的时间分别为 $7,11,8,12,8,13,6,13,7,15$ (单位: $\mathrm{min}$ ), 10 次骑自行车所花时间的均值为 $15 \mathrm{~min}$, 方差为 1 . 已知坐公交车所花时间 $X$ 与骑自行车所花时间 $Y$ 都服从正态分布,用样本均值和样本方差估计 $X, Y$ 分布中的参数,并利用信息技术工具画出 $X$ 和 $Y$ 的分布密度曲线如图所示. 若小明每天需在早上 8 点之前到校, 否则就迟到, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 坐公交车所花时间的均值为 10 ,方差为 3
$\text{B.}$ 若小明早上 $7: 50$ 之后出发, 并选择坐公交车, 则有 $50 \%$ 以上的可能性会迟到
$\text{C.}$ 若小明早上 $7: 42$ 出发,则应选择骑自行车
$\text{D.}$ 若小明早上 $7: 47$ 出发,则应选择坐公交车
如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle D A B=60^{\circ}, \angle D C B=120^{\circ}, A B=2, B C=\sqrt{2}, \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=2$,则下列结果正确的是
$\text{A.}$ $\angle A B C=45^{\circ}$
$\text{B.}$ $A C=\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $B D=\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\triangle A D C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 则下面判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $\forall x \in \mathbf{R}, f(x+1)>f(x)$, 则函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数
$\text{B.}$ 若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R},\left|f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right| \leqslant\left|\sin x_1+\sin x_2\right|$, 则函数 $f(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ 若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R},\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leqslant\left|\sin x_1-\sin x_2\right|$, 则函数 $f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ 若 $\forall x_1, x_2 \in(-1,1)$ 且 $x_1 \neq x_2,\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < \left|\sin x_1-\sin x_2\right|$, 则函数 $f(x)+$ $\sin x$ 在区间 $(-1,1)$ 上单调递增,函数 $f(x)-\sin x$ 在区间 $(-1,1)$ 上单调递减
如图, 已知正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的上、下底面边长分别为 2 和 6 , 侧棱长为 4 , 点 $P$ 在侧面 $B C C_1 B_1$ 内运动 (包含边界), 且 $A P$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{2}$, 点 $Q$为 $C C_1$ 上一点, 且 $\overrightarrow{C Q}=3 \overrightarrow{Q C_1}$, 则下列结论中正确的有
$\text{A.}$ 正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的高为 $2 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ 点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ 高为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$, 底面半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的圆柱可以放进棱台内
$\text{D.}$ 过点 $A, B, Q$ 的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 $\frac{3}{2} \pi$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知单位向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}, \boldsymbol{c}=t \boldsymbol{a}+(1-t) \boldsymbol{b}$, 若 $\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}=0$, 则 $t=$
已知 $(1+x)^5=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_5 x^5$, 则 $a_5+2 a_4+4 a_3+8 a_2+16 a_1+32 a_0=$
三棱椎 $P-A B C$ 的每一个面都是边长为 1 的正三角形, 以它的高 $P H$ 所在直线为旋转轴, 将其旋转 $60^{\circ}$ 得到三棱雉 $P-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 则两个三棱雉公共区域的体积为
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 若过点 $F_2$ 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点, 且 $A F_1=B F_1=2 \sqrt{5}$. 又以双曲线的顶点为圆心, 半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆恰好经过双曲线虚轴的端点, 则双曲线的离心率为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi)$ 及其导函数的图象如图所示.
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;
(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0, m)$ 上恰有 2 个极值点和 2 个零点, 求实数 $m$ 的取值范围.
如图, 直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面为菱形, $A B=A C=2, A A_1=2 \sqrt{3}$.
(1) 证明: 平面 $A_1 C_1 B \perp$ 平面 $B D D_1 B_1$;
(2) 求直线 $D C_1$ 与平面 $A_1 C_1 B$ 所成角的正弦值.
为应对全球气候变化, 我国制定了碳减排的国家战略目标, 采取了一系列政策措施积极推进碳减排, 作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑, 节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点. 某公司为了解员工对相关政策的了解程度,随机抽取了 180 名员工进行调查,得到如下表的数据：
(1) 补充表格, 并根据小概率值 $\alpha=0.025$ 的独立性检验, 分析了解程度与性别是否有关?
(2) 用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取 12 人, 再从这 12 人中随机抽取 6 人,用随机变量 $X$ 表示这 6 人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值, 求 $X$ 的分布列和数学期望.
附表及公式:
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 点 $P$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点, 点 $Q$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点, 且 $|F Q|=\sqrt{2},|P F|=\sqrt{2}-1$. 直线 $l$ 过圆 $O: x^2+y^2=1$ 的圆心, 并与椭圆相交于 $A, B$ 两点, 过点 $A$ 作圆 $O$ 的一条切线, 与椭圆的另一个交点为 $C$,且. $S_{\triangle A B C}=\frac{4}{3}$.
(1) 求椭圆的方程;
(2)求直线 $A C$ 的斜率.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, 公差 $d>0$, 等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足: $b_1=2 a_1=2, b_2=a_1+a_3$, $b_1 b_3=5 a_3+1$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若将数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的所有项按原顺序依次插人数列 $\left\langle b_n\right\}$ 中, 组成一个新数列: $b_1, a_1, b_2$, $a_2, a_3, b_3, a_4, a_5, a_6, a_7, b_4, \cdots$, 在 $b_k$ 与 $b_{k+1}$ 之间插人 $2^{k-1}$ 项 $\left\{a_n\right\}$ 中的项, 新数列中 $b_{n+1}$ 之前 (不包括 $b_{n+1}$ ) 所有项的和记为 $T_n$, 若 $d_n=\frac{a_n^2}{a_{n+1}}\left(\frac{2^{n-1}}{T_n+2}+2\right)$, 求使得 $\left[d_1\right]+$ $\left[d_2\right]+\left[d_3\right]+\cdots+\left[d_n\right] \leqslant 2023$ 成立的最大正整数 $n$ 的值. (其中符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数)
已知函数 $f(x)=3 a-x-(x+1) \ln (x+1), g(x)=a^2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{2}(2-a) x^2-3 a x(x>-1)$, $1 \leqslant a \leqslant 6, g(x)$ 的导函数记为 $g^{\prime}(x)$, $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数, 约为 2.718 .
(1) 判断函数 $f(x)$ 的零点个数;
(2) 设 $x_1$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点, $x_2$ 是函数 $g(x)$ 的一个极值点, 证明:
(1) $-1 < x_2 < 1 < x_1$;
(2) $f\left(x_2\right) < g^{\prime}\left(x_1\right)$.