已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 则下面判断正确的是
A. 若 $\forall x \in \mathbf{R}, f(x+1)>f(x)$, 则函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数
B. 若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R},\left|f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right| \leqslant\left|\sin x_1+\sin x_2\right|$, 则函数 $f(x)$ 是奇函数
C. 若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R},\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leqslant\left|\sin x_1-\sin x_2\right|$, 则函数 $f(x)$ 是周期函数
D. 若 $\forall x_1, x_2 \in(-1,1)$ 且 $x_1 \neq x_2,\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < \left|\sin x_1-\sin x_2\right|$, 则函数 $f(x)+$ $\sin x$ 在区间 $(-1,1)$ 上单调递增,函数 $f(x)-\sin x$ 在区间 $(-1,1)$ 上单调递减