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已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 若过点 $F_2$ 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点, 且 $A F_1=B F_1=2 \sqrt{5}$. 又以双曲线的顶点为圆心, 半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆恰好经过双曲线虚轴的端点, 则双曲线的离心率为
                        
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