单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $M=\{x \mid \sqrt{x} < 4\}, N=\{x \mid 3 x \geqslant 1\}$, 则 $M \cap N=$
$\text{A.}$ $\{x \mid 0 \leqslant x < 2\}$
$\text{B.}$ $\left\{x \mid \frac{1}{3} \leqslant x < 2\right\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 3 \leqslant x < 16\}$
$\text{D.}$ $\left\{x \mid \frac{1}{3} \leqslant x < 16\right\}$
若 $i(1-z)=1$, 则 $z+\bar{z}=$
$\text{A.}$ $-2$
$\text{B.}$ $-1$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
在 $\triangle A B C$ 中， 点 $D$ 在边 $A B$ 边上, $B D=2 D A$. 记 $\overrightarrow{C A}=m, \overrightarrow{C D}=n$, 则 $\overrightarrow{C B}=$
$\text{A.}$ $3 m-2 n$
$\text{B.}$ $-2 m+3 n$
$\text{C.}$ $3 m+2 n$
$\text{D.}$ $2 m+3 n$
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题, 其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔 $148.5m$ 时, 相应水而的面积为 $140 \mathrm{~km}^{2}$; 水似为海拔 $157.5 \mathrm{~m}$ 时, 相应水而 的面积为 $180 \mathrm{~km}^{2}$. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔 $148.5 \mathrm{~m}$ 上升到 $157.5 \mathrm{~m}$ 时, 增加的水量约为 $(\sqrt{7} \approx 2.65)$
$\text{A.}$ $1.0 \times 10^{9} \mathrm{~m}^{3}$
$\text{B.}$ $1.2 \times 10^{9} \mathrm{~m}^{3}$
$\text{C.}$ $1.4 \times 10^{9} \mathrm{~m}^{3}$
$\text{D.}$ $1.6 \times 10^{9} \mathrm{~m}^{3}$
从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数, 则这 2 个数互质的概膟为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
记函数 $f(x)=\sin \left(w x+\frac{\pi}{4}\right)+2$ 的最小正周期为 $T$. 若 $\frac{2 \pi}{3} < T < \pi$, 且 $y=f(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2\right)$ 中心对称,则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 3
设 $a=0.1 \mathrm{e}^{0.1}, b=\frac{1}{9}, c=-\ln 0.9$, 则
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $c < b < a$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $a < c < b$
已知正四棱锥的侧棱长为 1 , 其各顶点都仕同一球面上. 若该球的体积为 $36 \pi$, 且 $3 \leqslant 1 \leqslant 3 \sqrt{3}$, 则该正四棱雉体积的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[18, \frac{81}{4}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{27}{4}, \frac{81}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{27}{4}, \frac{64}{3}\right]$
$\text{D.}$ $[18,27]$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 则
$\text{A.}$ 直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$
$\text{B.}$ 直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$所成的角为 $90^{\circ}$
$\text{C.}$ 直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $45^{\circ}$
$\text{D.}$ 直线 $B C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$
已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个极值点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有三个零点
$\text{C.}$ 点 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
$\text{D.}$ 直线 $y=2 x$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线
已知 $O$ 为坐标原点, 点 $A(1,1)$ 在抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 上, 过点 $B(0,-1)$ 的直线 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 则
$\text{A.}$ $C$ 的准线为 $y=-1$
$\text{B.}$ 直线 $A B$ 与 $C$ 相切
$\text{C.}$ $|O P| \cdot|O Q|>|O A|^{2}$
$\text{D.}$ $|B P| \cdot|B Q|>|B A|^{2}$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 记 $g(x)= f’(x)$. 若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right), g(2+x)$ 均为偶函数, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\quad g\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
$\text{C.}$ $f(-1)=f(4)$
$\text{D.}$ $g(-1)=g(2)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^{6}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 (用数字作答).
写出椭圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和 $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16 $ 都 相切的一条直线的方程
若曲线 $y=(x+a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线, 则 $a$ 的取值范围是
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), C$ 的上顶点为 $A$, 两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 离心率为 $\frac{1}{2}$, 过 $F_{1}$ 且垂直与 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点, $|D E|=6$, 则 $\triangle A D E$ 的周长是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式:
(2) 证明: $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \frac{1}{a_{n}} < 2$
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}$.
(1) 若 $C=\frac{2 \pi}{3}$, 求 $B$
(2) 求 $ \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} $ 的最小值.
如图, 直三㥄柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, \triangle A_{1} B C$ 的罗
积为 $2 \sqrt{2}$.
(1) 求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离：
(2) 设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点, $A A_{1}=A B$, 平面 $A_{1} B C \perp$ 面$A B B_{1} A_{1}$, 求二面角 $A-B D-C$ 的正弦值.
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例 (称为病例组), 同时在末患该疾病 的人群中随机调查了 100 人 (称为对照组), 得到如下数据:
(1)能否有 $99 \%$ 的把握认为患该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2) 从该地的人群中任选一人, $A$ 表示事件 “选到的人卫生习惯不㿟良好”, $B$ 表示事件“选到 的人患有该疾病”,$\frac{P(B \mid A)}{P(\bar{B} \mid A)}$ 与 $\frac{P(B \mid \bar{A})}{P(\bar{B} \mid \bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一 项度量指标, 记该指标为 $R$.
(i) 证明: $R=\frac{P(A \mid B)}{P(\bar{A} \mid B)} \cdot \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})}{P(A \mid \bar{B})}$;
(ii) 利用该调查数据, 给出 $P(A \mid B), P(A \mid \bar{B})$ 的估计值, 并利用(i) 的结果给出 $R$ 的估计值.
已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a>1)$ 上, 直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 .
(1) 求 $l$ 的斜率;
(2) 若 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$, 求 $\triangle P A Q$ 的面积.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值.
(1) 求 $a$;
(2) 证明: 存在直线 $y=b$, 其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共在三个不同的交点, 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.