题号:1100    题型:填空题    来源: 2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
类型:高考真题
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0), C$ 的上顶点为 $A$, 两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 离心率为 $\frac{1}{2}$, 过 $F_{1}$ 且垂直与 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点, $|D E|=6$, 则 $\triangle A D E$ 的周长是
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答案:
13

解析:


依然先画好图: 易知 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 为等边
$D E$ 为 $A F_{2}$ 的中垂线, $\therefore E A=E F_{2}: D A=D F_{2}$
$\triangle A D E$ 的周长 $=\triangle D F_{2} E$ 的周长 $=4 a$
接下来就是求 $a$, 这里用极坐标或者焦半径角度式(公
众号 4 月 9 号文"解析几何中一些好记住的高粨二级结,
论"左)
$E F_{1}=\frac{e p}{1-e \cos \theta} ; D F_{1}=\frac{e p}{1+e \cos \theta}, p=\frac{b^{2}}{c}$
$E D=\frac{2 e p}{1-e^{2} \cos ^{2} \theta}=6, \theta=\frac{\pi}{6}$
则 $\frac{b^{2}}{a}=\frac{39}{16}$, 而 $e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}$
$a=\frac{39}{16} \div \frac{3}{4}=\frac{13}{4}, \triangle A D E$ 的周长 $=\triangle D F_{2} E$ 的周长 $=4 a=13$

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