题号:1102    题型:解答题    来源: 2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}$.
(1) 若 $C=\frac{2 \pi}{3}$, 求 $B$
(2) 求 $ \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} $ 的最小值.
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答案:
(1) 由条件得: $\sin 2 B+\sin A \sin 2 B=\cos A+\cos A \cos 2 B$
$$
\begin{aligned}
\sin 2 B &=\cos A+\cos A \cos 2 B-\sin A \sin 2 B=\cos A+\cos (A+2 B) \\
&=\cos [\pi-(B+C)]+\cos [\pi-(B+C)+2 B] \\
&=-\cos (B+C)+\cos [\pi+(B-C)] \\
&=-2 \cos B \cos C
\end{aligned}
$$
所以 $2 \sin B \cos B=-2 \cos B \cos C$, 即 $(\sin B+\cos C) \cos B=0$,
由已知条件: $1+\cos 2 B \neq 0$, 则 $B \neq \frac{\pi}{2}$, 可得 $\cos B \neq 0$,
所以 $\sin B=-\cos C=\frac{1}{2}, B=\frac{\pi}{6}$.

由 (1) 知 $\sin B=-\cos C > 0$, 则 $B=C-\frac{\pi}{2}, \sin B=\sin \left(C-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos C$, $\sin A=\sin (B+C)=\sin \left(2 C-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2 C$,
由正弦定理 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin ^{2} A+\sin ^{2} B}{\sin ^{2} C}=\frac{\cos ^{2} 2 C+\cos ^{2} C}{\sin ^{2} C}$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{\left(1-2 \sin ^{2} C\right)^{2}+\left(1-\sin ^{2} C\right)}{\sin ^{2} C} \\
&=\frac{2+4 \sin ^{4} C-5 \sin ^{2} C}{\sin ^{2} C}=\frac{2}{\sin ^{2} C}+4 \sin ^{2} C-5 \\
&\geqslant 2 \sqrt{\frac{2}{\sin ^{2} C} \cdot 4 \sin ^{2} C-5}=4 \sqrt{2}-5,
\end{aligned}
$$
当且仅当 $\sin ^{2} C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时等号成立, 所以 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}-5$.
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