题号:1103    题型:解答题    来源: 2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
如图, 直三㥄柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, \triangle A_{1} B C$ 的罗
积为 $2 \sqrt{2}$.
(1) 求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离:
(2) 设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点, $A A_{1}=A B$, 平面 $A_{1} B C \perp$ 面$A B B_{1} A_{1}$, 求二面角 $A-B D-C$ 的正弦值.
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答案:
(1) 设 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $h$,
$$
\begin{aligned}
&V_{A_{1}-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot A_{1} A=\frac{1}{3} V_{A B C-1, B_{1} C_{1}}=\frac{1}{3} \times 4=\frac{4}{3}, \\
&V_{1-A_{1} B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A_{1} B C} \cdot h=\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{2} \cdot h,
\end{aligned}
$$
所以 $\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{2} \cdot h=\frac{4}{3}$, 所以 $h=\sqrt{2}$, 所以 $A$ 到平罗 $A_{1} B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$.

(2) 取 $A_{1} B$ 的中点 $E$, 连接 $A E$,
|夶为 $A A_{1}=A B$, 所以 $A E \perp A_{1} B$,
|炈为平罗 $A_{1} B C \perp$ 平脜 $A B B_{1} A_{1}$, 平面 $A_{1} B C \cap$ 平而 $A B B_{1} A_{1}=A_{1} B$,
所以 $A E \perp$ 平而 $A_{l} B C, A E=\sqrt{2}$, 则 $A A_{1}=A B=2$, 所以 $A E \perp B C$,
䀕为直三㥄柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$, 所以 $A_{1} A \perp B C$,
因为 $A E \cap A_{1} A=A$, 所以 $B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A$, 所以 $B C \perp A B$,
由 $V_{A B C-A_{1} B C_{\mathrm{C}}}=\frac{1}{2} A B \cdot B C \cdot A_{1} A=\frac{1}{2} \times 2 \times B C \times 2=4$, 所以 $B C=2$,
以 $B C$ 为 $x$ 眒, $B A$ 为 $y$ 轴, $B B_{1}$ 为z轴, 建文如图所示的空间直角
시슨标,
所以 $B(0,0,0) , A(0,2,0), C(2,0,0) , A_{1}(0,2,2), E(0,1,1), D(1,1,1)$
平而 $B D C$ 的法向量设为 $n_{1}=A \dot{E}=(0,-1,1)$, 平面 $B D A$ 的法向量设
为 $n_{2}=(x, y, z)$,
$$
B A=(0,2,0), B D=(1,1,1),
$$


$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \vec { B A } \cdot \vec { n _ { 2 } } = 0 } \\
{ \vec { B D \cdot n _ { 2 } } = 0 }
\end{array} \text { , 所以 } \left\{\begin{array}{l}
2 y=0 \\
x+y+z=0
\end{array} \text {, 所以 } y=0,\right.\right.
$$
设 $x=1$, 则 $z=-1$, 所以 $\overrightarrow{n_{2}}=(1,0,-1)$, 所以 $\cos < n_{1}, n_{2} > =\frac{n_{1} \cdot n_{2}}{\left|n_{1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=-\frac{1}{2}$,
设 面角 $A-B D-C$ 的卡面角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha=\sqrt{1-\cos \alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 所以二面角 $A-B D-C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
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